随机变量的方差平均绝对偏差E { ∣ X − E ( X ) ∣ } E\{ |X - E(X)| \}E{∣X−E(X)∣}能够度量随机变量与其均值E ( X ) E(X)E(X)的偏离程度。但由于绝对值运算不方便通常用平方偏差的期望E { [ X − E ( X ) ] 2 } E\{ [X - E(X)]^2 \}E{[X−E(X)]2}来度量随机变量X XX与其均值E ( X ) E(X)E(X)的偏离程度。定义设随机变量X XX的数学期望E ( X ) E(X)E(X)存在称E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] E[(X - E(X))^2]E[(X−E(X))2]为随机变量X XX的方差记为D ( X ) D(X)D(X)或Var ( X ) \operatorname{Var}(X)Var(X)。即D ( X ) Var ( X ) E [ X − E ( X ) ] 2 . D(X) \text{Var}(X) E[X - E(X)]^2 .D(X)Var(X)E[X−E(X)]2.随机变量X XX的方差反映了X XX的取值与其数学期望的偏离程度。若D ( X ) D(X)D(X)较小则X XX的取值比较集中在E ( X ) E(X)E(X)的附近反之若D ( X ) D(X)D(X)较大则X XX的取值较分散。因此D ( X ) D(X)D(X)是刻画X XX取值分散程度的一个量它是衡量X XX取值分散程度的一个尺度。定义设随机变量X XX的数学期望E ( X ) E(X)E(X)存在称D ( X ) E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] \sqrt{D(X)} \sqrt{E[(X - E(X))^2]}D(X)E[(X−E(X))2]为随机变量X XX的标准差或均方差记为σ ( X ) \sigma(X)σ(X)。方差单位是原变量单位的平方因此引入其平方根——标准差σ ( X ) \sigma(X)σ(X)使其与原变量同量纲。随机变量的方差本质上是计算随机变量X XX与其数学期望的偏差平方( X − E ( X ) ) 2 {(X - E(X))^2}(X−E(X))2的数学期望所以方差计算依据随机变量数学期望的方法进行。即对每个可能取值x k x_kxk或x xx计算其偏离均值的平方再按概率加权平均。若随机变量X XX的方差D ( X ) D(X)D(X)存在则若X XX为离散型随机变量其概率函数为p ( x i ) p(x_i)p(xi)i 1 , 2 , ⋯ i 1, 2, \cdotsi1,2,⋯则D ( X ) E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] ∑ i [ x i − E ( X ) ] 2 p ( x i ) . D(X) E[(X - E(X))^2] \sum_i [x_i - E(X)]^2 p(x_i).D(X)E[(X−E(X))2]i∑[xi−E(X)]2p(xi).若X XX为连续型随机变量其概率密度为f ( x ) f(x)f(x)则D ( X ) E [ ( X − E ( X ) ) 2 ] ∫ − ∞ ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x . D(X) E[(X - E(X))^2] \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x) \, dx.D(X)E[(X−E(X))2]∫−∞∞[x−E(X)]2f(x)dx.因为[ X − E ( X ) ] 2 X 2 − 2 X E ( X ) E 2 ( X ) [X - E(X)]^2 X^2 - 2XE(X) E^2(X)[X−E(X)]2X2−2XE(X)E2(X)利用数学期望的性质则可以得到方差计算的另一个公式方法。定理设随机变量X XX的数学期望E ( X ) E(X)E(X)和E ( X 2 ) E(X^2)E(X2)均存在则D ( X ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) . D(X) E(X^2) - E^2(X).D(X)E(X2)−E2(X).这是方差的简化公式避免了先算均值再代入求和/积分尤其适合已知矩moment的情况。