第二章 · 一条直线万物归数——每一条数轴都是一条向前延伸的路。原点是出发的站台正方向是奔赴的远方。站在原点两侧的数字互为彼此的镜像。2.5 红黑算筹千年追溯周末的午后老街旧书店里漫着纸页淡淡的霉香天光透过木格窗柔缓铺开隔绝了教室的粉笔灰与随堂小测的红叉。林默跟着苏晚来到这里两人先拿出便签纸前面学习的全部知识点。“我们先把这周学过的内容理顺一遍。”苏晚铺开白纸笔尖轻落“从数轴、相反数、绝对值到有理数大小比较核心两条判断规则还记得吗”林默低头回想条理清晰地复述“异号两数相比正数一定大于00一定大于负数如果都是负数就要看绝对值绝对值越大这个数反而越小。不管数轴箭头朝左还是朝右这条规律永远不变。”苏晚点头在纸上把数轴、对称点、距离三条核心线索串联又补充“这些整数、小数、分数统一叫作有理数我们这几天研究的所有数字都归属于这个范围。”说完她伸手抽出书架一本泛黄的《九章算术》厚重古籍边角被岁月磨得圆润书页间藏着两千年前的数学记载。“我们现在用正负号、数轴区分相反的量但古人没有这些符号他们是怎么记录盈余与亏欠、高低温差这类相反数量的就像粮仓收粮、放粮一进一出完全相反该怎么分开记”林一时语塞课本只提过一嘴算筹他从未细想完整来龙去脉。脚步声从木质楼梯传来程远单肩挎书包缓步上楼他顺路来书店帮忙整理旧教辅看见二人围着古籍驻足便停下脚步走近石桌。“你们在梳理有理数知识顺便看古代记数”程远扫过便签纸上的数轴笔记轻声开口。“我们想不通古人没有负号怎么表示亏损、低于基准的数”林默把古籍推到他面前。程远指尖抚过《九章算术》封面缓缓铺开完整史料同时对照课本「图说数学史」板块内容讲解“早在东汉《九章算术》的方程章节我国数学家就正式定义了正、负两类数量是全世界最早系统使用负数的文明。魏晋刘徽为这本书作注时明确规定红筹表示正数黑筹表示负数。”“红代表收入、盈余、高出基准黑代表支出、亏欠、低于海平面、零下温度。和我们现代正负数的意义完全对应。拿粮仓举例收进8石粮食摆红筹借出4石就摆黑筹一目了然。”表1古今正负数表示对照表意义类别古代算筹表示现代数轴表示示例收入、盈余、超重红筹正数原点右侧正方向8石4.7kg支出、亏欠、偏轻黑筹负数原点左侧负方向-4石-8.3kg无盈亏、标准体重空白0原点00石0kg林默立刻联系前两节所学“那之前我们比较−5-5−5和−3-3−3放到古人算筹里就是五根黑筹对比三根黑筹亏欠更多的数值更小刚好对应‘两个负数绝对值越大数越小’的规律”“没错古今底层逻辑完全相通。”程远顿了顿按照教材史料补充中外对比内容“但同一时期海外对负数的认知远远落后于中国。”“古印度数学家婆罗摩笈多虽然也用正负区分财产与债务但并未形成完整运算体系欧洲直到中世纪大部分数学家都排斥‘比0更小的数’很长一段时间里他们认为负数是‘虚假、不存在的数字’。哪怕笛卡儿建立直角数轴依旧把负数根称作‘假根’直到十九世纪才完全接纳负数、完善有理数理论。”东汉《九章算术》 古印度婆罗摩笈多 欧洲笛卡儿 欧洲完全接纳 正式定义正负 使用正负区分财产债务 提出假根 负数理论完善 │ │ │ │ ▼ ▼ ▼ ▼ ────●───────────────────────●───────────────────────●───────────────────●──── 公元100年 公元628年 公元1637年 公元1800年 │ │ └─── 中国最早系统使用负数 ──┘ └─── 西方长期排斥负数 ──┘苏晚听完若有所思提笔在笔记本记录“我们课本说负数是用来表示相反意义的量中国人从生产算账里自然诞生负数概念西方人却纠结数字‘是否真实存在’两种思路完全不一样。”程远继续拓展课本数学活动里的史料细节“古人除了红黑分色还会用算筹摆放横竖区分数位整套记数体系完整对应现在的有理数红筹对应正有理数黑筹对应负有理数无盈亏、无收支的空白状态就是0完美契合有理数完整分类。”苏晚看着便签纸上现代数轴再对照古籍记载的红黑算筹忽然打通古今关联“数轴分左右代表相反方向算筹分红黑代表相反盈亏本质都是用两套标识区分对立数量我们这周学的相反数、大小比较古人靠算筹早就摸索透了。”程远补充一句课本核心观点“数学规律本就藏在生活里中国人从生产算账中提炼正负西方经过漫长思辨才认可这也是课本专门设置史料阅读与数学活动的原因。我记得七年级课本里面有一道体重调查的拓展活动逻辑和这里是相通的。”他侧过头目光落在苏晚上楼时一并带来的初中数学课本上书页还停留在第一章末尾的数学活动页面。程远伸手把课本轻轻转过来朝向林默和苏晚两人。“把标准体重当作分界基准超出标准的记作正数少于标准的记作负数和古人用红黑算记盈亏是同一个道理。”林默凑上前看着课本上的表格编号123456体重情况−1.1-1.1−1.1222−0.5-0.5−0.51010104.74.74.7−8.3-8.3−8.3慢慢读出来“正数代表超重负数代表体重偏轻。只看正负还不够还要看数值离0有多远这不就是绝对值吗”“正是。”程远指尖点在表格上“比如−0.5-0.5−0.5和−8.3-8.3−8.3都是负数都低于标准体重可两者偏离的程度完全不同。正负告诉我们方向绝对值告诉我们偏离基准到底有多远。这就是这一章反复在讲的0作为分界符号看方向绝对值看距离。放到体重、盈亏、海拔全部通用。”苏晚恍然“原来不只是账本算账连我们自己的体重都可以用正负和绝对值来分析。”“课本还建议大家可以自己测算、对比同龄人标准不光是纸上做题数学也能用来观察身边现实。”程远说道。林默低头盯着表格在脑海里默默把数字按大小顺了一遍仿佛把每个数字都挪到数轴上从标准体重这个原点出发往右是超重往左是偏轻符号定朝向数字定远近。他拿起铅笔在便签空白处认认真真写下一行短句“正负号方向绝对值距离。”写完轻轻顿了一下抬眼望向书架上合起的《九章算术》像是把眼前表格与千年算筹记在了一处而后缓缓合上笔盖眼底满是通透。程远叮嘱两人把古今对照的笔记整理好便抱着教辅下楼整理库存。林默望着他离去的背影心底的疑惑愈发清晰从前课堂上他轻声提点习题答案的模样、凉亭讲解相反数的模样、今日梳理古算史、拆解课本活动的模样层层重叠。他越发好奇这位暂住苏晚家的表哥为何能把初中知识、古代数学都掌握得如此透彻这份疑问悄悄藏在心底没有立刻开口追问。练习与思考A组 · 基础回顾中国古代数学家刘徽注解《九章算术》时用色算筹表示正数色算筹表示负数。古人以盈余、收入为正亏损、支出为负。结余8石记作亏欠4石记作。沿用红黑算筹逻辑比较大小红筹6、黑筹2、黑筹7、0其中最大的数是最小的数是。B组 · 理解关联结合2.4有理数大小比较知识说明为什么古人黑筹数量越多代表的数值反而越小对应现代数学哪一条规则判断对错并改正东西方古代同步完整理解、熟练运用负数。在课本体重调查的数学活动中把标准体重看作基准0004.74.74.7代表什么−1.1-1.1−1.1代表什么判断体重偏离标准远近需要看什么C组 · 拓展思考结合课本史料说说我国和古代欧洲对待负数的认知差异是什么古今对照数轴区分左右、算筹区分红黑、体重记录正负三者共同的数学作用是什么请你仿照文中体重调查表的格式设计一张班级身高调查表用正负数表示每个人与班级平均身高的偏差并简单说明如何根据表格数据分析同学们身高偏离平均的程度。章末伏笔晚风穿过老街木窗吹起《九章算术》泛黄纸页。林默合上古籍指尖停留在红黑算筹的记载段落。课堂提点习题、凉亭讲解相反数、今日梳理千年数学史、解析课本体重调查活动程远从容通透的模样一遍遍在脑海浮现。他想起方才写在便签上那句“正负号方向绝对值距离”心底暗自思索千年前的红黑算筹如今纸上的体重表格本质讲的都是同一件事。可他心底仍存一道未解的疑问同样一套正负逻辑程远既能拆解初中课本习题又通晓千年前的古算记载学识远比同龄人深厚。这份好奇静静沉在心底等着往后慢慢寻到答案。