22、复向量的内积

1、历史背景欧几里得空间里两个实向量x(x1,x2)\mathbf{x}(x_1,x_2)x(x1​,x2​)和y(y1,y2)\mathbf{y}(y_1,y_2)y(y1​,y2​)点积是x1y1x2y2x_1y_1x_2y_2x1​y1​x2​y2​它可以给出长度x12y22\sqrt{x_1^2y_2^2}x12​y22​​且长度总是非负实数。当数学家想把这种“长度”和“角度”的概念搬到复数上时遇到了麻烦。如果直接把点积照搬成x1y1x2y2x_1y_1x_2y_2x1​y1​x2​y2​那么对于一个最简单的复向量iii它的“长度的平方”就是i⋅ii2−1i\cdot ii^2-1i⋅ii2−1成了负数毫无几何意义。为了解决这个问题法国数学家埃尔米特在19世纪提出在复数情况下应该对第二个向量取共轭即定义内积为x1y1‾x2y2‾x_1\overline{y_1}x_2\overline{y_2}x1​y1​​x2​y2​​。这样iii的长度的平方就是i⋅i‾i⋅(−i)1i\cdot\overline{i}i\cdot(-i)1i⋅ii⋅(−i)1又回到了我们熟悉的非负实数。这个聪明的做法后来被称为埃尔米特形式并成为了整个复向量几何的基础。2、严格定义在nnn维复向量空间Cn\mathbb{C}^nCn中两个向量x(x1,…xn), y(y1,…,yn)\mathbf{x}(x_1,…x_n), \ \ y(y_1,…,y_n)x(x1​,…xn​),y(y1​,…,yn​)的标准内积定义为⟨x,y⟩x1y1‾x2y2‾⋯xnyn‾∥x∥∥y∥cosθ ⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩x_1\overline{y_1}x_2\overline{y_2}\cdotsx_n\overline{y_n} \| \mathbf{x}\|\| \mathbf{y}\| cos\theta⟨x,y⟩x1​y1​​x2​y2​​⋯xn​yn​​∥x∥∥y∥cosθ其中上划线yi‾\overline{y_i}yi​​表示复数yiy_iyi​的共轭。这个定义满足以下四条基本规则任何内积都必须遵守1共轭对称⟨x,y⟩⟨y,x⟩‾⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩\overline{⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩}⟨x,y⟩⟨y,x⟩​交换顺序后变为原来的共轭复数。2对第一个变量线性⟨axby,z⟩a⟨x,z⟩b⟨y,z⟩⟨a\mathbf{x}b\mathbf{y}, \mathbf{z}⟩a⟨\mathbf{x},\mathbf{z}⟩b⟨\mathbf{y},\mathbf{z}⟩⟨axby,z⟩a⟨x,z⟩b⟨y,z⟩3对第二个变量共轭线性⟨x,aybz⟩a‾⟨x,y⟩b‾⟨x,z⟩⟨\mathbf{x},a\mathbf{y}b\mathbf{z}⟩\overline{a}⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩\overline{b}⟨\mathbf{x},\mathbf{z}⟩⟨x,aybz⟩a⟨x,y⟩b⟨x,z⟩提取系数时要取共轭4正定性⟨x,x⟩≥0⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\geq0⟨x,x⟩≥0并且⟨x,x⟩0⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩0⟨x,x⟩0当且仅当x0\mathbf{x}\mathbf{0}x0由内积可以定义向量的长度范数∥x∥⟨x,x⟩∣x1∣2∣x2∣2⋯∣xn∣2 \|\mathbf{x}\|\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}\sqrt{|x_1|^2|x_2|^2\cdots|x_n|^2}∥x∥⟨x,x⟩​∣x1​∣2∣x2​∣2⋯∣xn​∣2​这永远是一个非负实数。有些物理学把内积定义成∑xi‾yi\sum\overline{x_i}y_i∑xi​​yi​是取第一个共轭是一样的。点积x⋅y\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}x⋅y在工程领域常见但仍隐含共轭即x⋅y∑xiyi‾\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}\sum x_i \overline{y_i}x⋅y∑xi​yi​​。所以看到电磁学中的E⋅H∗\mathbf{E}\cdot \mathbf{H}*E⋅H∗其实就是一个内积。3.物理意义与几何直观1)长度与能量如果向量代表一个物理量如正弦信号的复振幅、电磁场的相量那么∥x∥2∑∣xi∣2\|\mathbf{x}\|^2\sum|x_i|^2∥x∥2∑∣xi​∣2就直接代表该信号或场的总功率。内积自带共轭确保了能量是个实数。2)正交性若⟨x,y⟩0⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩0⟨x,y⟩0称两向量正交。在物理上正交意味着两个模式或两个场分量独立、不互相耦合比如直角坐标系中的单位向量。3)投影向量x\mathbf{x}x在单位向量u(∥u∥1)\mathbf{u}(\| \mathbf{u} \| 1)u(∥u∥1)上的投影是⟨x,u⟩u⟨\mathbf{x},\mathbf{u}⟩\mathbf{u}⟨x,u⟩u。这个投影的系数⟨x,u⟩⟨\mathbf{x},\mathbf{u}⟩⟨x,u⟩是一个复数它的模长表示分量的大小它的辐角表示该分量相对于参考向量的相位越前或滞后。这在交流电路和电磁波叠加中极其重要。4)相似度与相关性对于两个非零向量定义相关系数cosθ∣⟨x,y⟩∣∥x∥∥y∥, 0≤θ≤π2 cos\theta\frac{|⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩|}{\| \mathbf{x} \|\| \mathbf{y} \|}, \ \ 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}cosθ∥x∥∥y∥∣⟨x,y⟩∣​,0≤θ≤2π​这个值越接近1表示两向量越“相似”。在信号处理中⟨x,y⟩⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩⟨x,y⟩就是加共轭的互相关用于检测接收信号中是否包含某个已知波形——这正是匹配滤波和雷达检测的基本思想。4.应用举例给定a(1i,2),b(i,1−i)\mathbf{a}(1i,2), \mathbf{b}(i,1-i)a(1i,2),b(i,1−i)。计算内积⟨a,b⟩⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩⟨a,b⟩和⟨b,a⟩⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩⟨b,a⟩验证共轭对称性⟨a,b⟩(1i)i‾21−i‾(1i)(−i)2(1i)3i \begin{aligned} ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩ (1i)\overline{i}2\overline{1-i} \\ (1i)(-i)2(1i) 3i \end{aligned}⟨a,b⟩​(1i)i21−i​(1i)(−i)2(1i)3i​同样的方法可以计算得⟨b,a⟩3−i⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩3-i⟨b,a⟩3−i计算⟨b,a⟩⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩⟨b,a⟩是否等于0可以判断正交性。5.与电磁域相关复向量的内积将来会反复用到复数坡印廷矢量12E×H∗\frac{1}{2}\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*21​E×H∗其中的点积就是内积保证了实功率和无功功率的正确分离。模式正交性波导中不同模式相互正交互不传递能量其正交积分就是一个内积。矩量法投影用测试函数对方程两边取内积正是利用正交投影来建立代数方程组。内积是你之后理解一切“投影”、“正交展开”和“能量内积”的通用语言彻底弄懂它会事半功倍。