基于 DEA Performance 的超效率 FDH 模型计算准确性验证：非凸前沿 + 非期望产出全流程校验

一、为什么要验证超效率 FDH 模型FDHFree Disposal Hull自由处置壳是 DEA 体系中经典的非凸前沿模型核心特性是去除生产可能集的凸性假设权重λ \lambdaλ为 0-1 二元变量仅以真实存在的 DMU 作为评价标杆更贴合部分无规模效应的细分场景。其中超效率 FDH 进一步剔除被评价单元自身参与前沿构建可对传统 FDH 中的有效单元做精准排序是效率评优、标杆遴选场景的常用工具。在 DEA 软件开发中FDH 模型是极易出现隐蔽错误的模块权重变量类型误设为连续型、极端有效单元判定逻辑缺失、非期望产出约束方向颠倒、规模报酬约束与二元变量不匹配等问题都会导致最终效率值完全偏离理论定义且表面上“能正常输出数值”很难被普通用户直接识别。本文基于标准单调测试数据集从前沿特性合理性、投入导向数值验算、产出导向数值验算、非期望产出约束规范性四个维度对 DEA Performance 软件中的超效率 FDH-VRS 模型含非期望产出扩展进行全流程准确性验证确保模型实现完全符合经典 FDH 理论规范。二、超效率 FDH 模型的理论基础与校验标准2.1 超效率 FDH 的核心定义超效率 FDH 在评价单个 DMU 时将其自身从参考集中剔除通过剩余 DMU 构建非凸生产前沿核心特性非凸前沿权重λ \lambdaλ为 0-1 二元变量仅能选择单个真实 DMU 作为标杆不允许线性组合。超效率排序有效单元的效率值可大于 1或无穷大实现全样本精准排序。VRS 规模报酬强制∑ λ 1 \sum \lambda 1∑λ1即仅能选择一个其他 DMU 作为参考标杆。2.2 投入导向超效率 FDH 数学形式min ⁡ θ s.t. ∑ j ≠ k λ j x i j ≤ θ x i k , i 1 , . . . , m ∑ j ≠ k λ j y r j ≥ y r k , r 1 , . . . , s ∑ j ≠ k λ j b t j ≤ θ b t k , t 1 , . . . , s 2 ∑ j ≠ k λ j 1 ( VRS ) λ j ∈ { 0 , 1 } \begin{align*} \min \quad \theta \\ \text{s.t.} \quad \sum_{j \neq k} \lambda_j x_{ij} \le \theta x_{ik}, \quad i1,...,m \\ \sum_{j \neq k} \lambda_j y_{rj} \ge y_{rk}, \quad r1,...,s \\ \sum_{j \neq k} \lambda_j b_{tj} \le \theta b_{tk}, \quad t1,...,s_2 \\ \sum_{j \neq k} \lambda_j 1 \quad (\text{VRS}) \\ \lambda_j \in \{0,1\} \end{align*}mins.t.​θjk∑​λj​xij​≤θxik​,i1,...,mjk∑​λj​yrj​≥yrk​,r1,...,sjk∑​λj​btj​≤θbtk​,t1,...,s2​jk∑​λj​1(VRS)λj​∈{0,1}​2.3 三层校验准则本次验证设置三层递进式校验标准前沿特性校验极端有效单元判定符合理论预期无逻辑矛盾。数值精准性校验关键样本手动推导结果与软件输出零偏差。约束规范性校验非期望产出约束方向正确规模约束与二元变量匹配。图 1 DEA Performance 软件超效率 FDH 模型参数配置界面三、验证方案与测试数据3.1 测试数据集本次验证采用 20 个决策单元的标准单调测试数据集数据呈现严格的单调变化特征从 DMU1 到 DMU20投入递增、期望产出递减、非期望产出递增趋势清晰便于验证效率排序的一致性。核心数据维度投入指标2 项期望产出指标2 项非期望产出指标2 项DMU 数量20 个DMU 名称投入 1投入 2产出 1产出 2非期望产出 1非期望产出 2DMU15.503.2011.428.721.781.67DMU25.823.3511.188.561.991.80DMU36.073.5210.958.412.101.89DMU46.433.8310.698.252.312.08DMU56.684.0110.488.092.422.17DMU67.034.3110.217.932.642.37DMU77.414.499.947.752.812.44DMU87.934.929.657.543.122.71DMU98.325.219.427.383.292.86DMU108.785.579.177.213.603.14DMU119.296.018.907.023.773.28DMU129.676.298.686.874.083.55DMU1310.186.738.416.694.233.68DMU1410.637.078.196.544.573.98DMU1511.097.457.956.364.714.11DMU1611.477.727.726.214.984.34DMU1711.928.007.516.085.224.50DMU1812.388.007.335.975.464.50DMU1912.718.007.185.895.614.50DMU2013.008.007.025.805.804.503.2 软件参数配置本次验证使用 DEA Performance 软件核心参数配置如下基础模型超效率 FDH规模报酬VRS 可变规模报酬计算导向分别测试投入导向、产出导向两组非期望产出包含 2 列启用弱可处置性约束四、第一维度前沿特性合理性验证4.1 极端有效单元判定FDH-VRS 模式下每个 DMU 仅能选择单个其他 DMU 作为标杆。DMU1 是全样本中投入最少、期望产出最高、非期望产出最低的样本具备绝对前沿优势。剔除自身 DMU1 后剩余 19 个 DMU 中没有任何一个能同时满足投入≤ \le≤DMU1 的投入期望产出≥ \ge≥DMU1 的期望产出非期望产出≤ \le≤DMU1 的非期望产出因此超效率模型无可行解软件判定 DMU1 为极端有效单元效率值无穷大。4.2 结论该判定完全符合超效率 FDH 的非凸前沿特性逻辑正确未出现“无可行解直接标记为 NaN”的粗糙处理也未出现“强行赋予有限值”的错误处理。五、第二维度投入导向超效率 FDH 数值验算5.1 整体结果趋势运行投入导向超效率 FDH-VRS 模型核心节点效率结果如下DMU软件输出效率值效率变化趋势DMU1极端有效 (∞ \infty∞)前沿极点DMU20.955224逐步下降DMU30.909091逐步下降DMU140.517404逐步下降DMU200.423077效率最低图 2 投入导向超效率 FDH 计算结果界面截图图 3 投入导向效率值随 DMU 序号变化趋势图5.2 关键样本手动验算投入导向超效率 FDH 的核心逻辑从剩余样本中找最优标杆计算当前 DMU 投入的最小可收缩比例θ \thetaθ最紧约束决定最终效率值。(1) DMU2 验算标杆为 DMU1约束条件投入 15.50 ≤ θ × 5.82 ⟹ θ ≥ 0.9450 5.50 \le \theta \times 5.82 \implies \theta \ge 0.94505.50≤θ×5.82⟹θ≥0.9450投入 23.20 ≤ θ × 3.35 ⟹ θ ≥ 0.955224 3.20 \le \theta \times 3.35 \implies \theta \ge 0.9552243.20≤θ×3.35⟹θ≥0.955224最紧约束期望产出DMU1 产出均高于 DMU2自动满足。非期望产出DMU1 非期望均低于 DMU2自动满足。最终效率值取最紧约束值0.955224 0.9552240.955224与软件输出完全一致。(2) DMU3 验算标杆为 DMU1投入 2 约束3.20 ≤ θ × 3.52 ⟹ θ ≥ 0.909091 3.20 \le \theta \times 3.52 \implies \theta \ge 0.9090913.20≤θ×3.52⟹θ≥0.909091最紧约束。最终效率值0.909091 0.9090910.909091与软件输出完全一致。(3) DMU14 验算标杆为 DMU1投入 1 约束5.50 ≤ θ × 10.63 ⟹ θ ≥ 0.517404 5.50 \le \theta \times 10.63 \implies \theta \ge 0.5174045.50≤θ×10.63⟹θ≥0.517404最紧约束。最终效率值0.517404 0.5174040.517404与软件输出完全一致。(4) DMU20 验算标杆为 DMU1投入 1 约束5.50 ≤ θ × 13.00 ⟹ θ ≥ 0.423077 5.50 \le \theta \times 13.00 \implies \theta \ge 0.4230775.50≤θ×13.00⟹θ≥0.423077最紧约束。最终效率值0.423077 0.4230770.423077与软件输出完全一致。5.3 整体趋势验证从 DMU1 到 DMU20投入持续递增、期望产出持续递减、非期望产出持续递增投入导向效率值严格单调递减无异常反转、无跳点与数据物理特征完全匹配。六、第三维度产出导向超效率 FDH 数值验算6.1 整体结果趋势运行产出导向超效率 FDH-VRS 模型核心节点效率结果如下DMU软件输出效率值效率变化趋势DMU1极端有效 (∞ \infty∞)前沿极点DMU21.018692逐步上升DMU31.036861逐步上升DMU141.333333逐步上升DMU201.503448改进空间最大图 4 产出导向超效率 FDH 计算结果界面截图图 5 产出导向效率值随 DMU 序号变化趋势图6.2 关键样本手动验算产出导向超效率 FDH 的核心逻辑从剩余样本中找最优标杆计算当前 DMU 产出的最大可扩张比例ϕ \phiϕ最紧约束决定最终效率值。(1) DMU2 验算标杆为 DMU1约束条件产出 111.42 ≥ ϕ × 11.18 ⟹ ϕ ≤ 1.0215 11.42 \ge \phi \times 11.18 \implies \phi \le 1.021511.42≥ϕ×11.18⟹ϕ≤1.0215产出 28.72 ≥ ϕ × 8.56 ⟹ ϕ ≤ 1.018692 8.72 \ge \phi \times 8.56 \implies \phi \le 1.0186928.72≥ϕ×8.56⟹ϕ≤1.018692最紧约束投入、非期望产出DMU1 均优于 DMU2自动满足。最终效率值取最紧约束值1.018692 1.0186921.018692与软件输出完全一致。(2) DMU3 验算标杆为 DMU1产出 2 约束8.72 ≥ ϕ × 8.41 ⟹ ϕ ≤ 1.036861 8.72 \ge \phi \times 8.41 \implies \phi \le 1.0368618.72≥ϕ×8.41⟹ϕ≤1.036861最紧约束。最终效率值1.036861 1.0368611.036861与软件输出完全一致。(3) DMU14 验算标杆为 DMU1产出 2 约束8.72 ≥ ϕ × 6.54 ⟹ ϕ ≤ 1.333333 8.72 \ge \phi \times 6.54 \implies \phi \le 1.3333338.72≥ϕ×6.54⟹ϕ≤1.333333最紧约束。最终效率值1.333333 1.3333331.333333与软件输出完全一致。(4) DMU20 验算标杆为 DMU1产出 2 约束8.72 ≥ ϕ × 5.80 ⟹ ϕ ≤ 1.503448 8.72 \ge \phi \times 5.80 \implies \phi \le 1.5034488.72≥ϕ×5.80⟹ϕ≤1.503448最紧约束。最终效率值1.503448 1.5034481.503448与软件输出完全一致。6.3 双导向一致性验证投入导向与产出导向的 DMU 排序完全对应边界单元一致双导向逻辑自洽未出现导向切换后排序反转的矛盾。七、第四维度非期望产出约束规范性验证本套测试数据中DMU1 的非期望产出为全样本最低作为标杆时天然满足约束条件因此未构成紧约束但约束处理逻辑完全规范方向正确投入导向下非期望产出与投入同向处理标杆非期望≤ θ × \le \theta \times≤θ×当前非期望符合弱可处置性定义。同步参与超效率非期望产出同步纳入剔除自身后的前沿构建未出现“非期望产出不参与超效率”的常见疏漏。无逻辑倒置未出现“非期望产出越高效率越高”的方向错误评价逻辑自洽。八、FDH 模型开发的常见坑点与避坑指南结合本次验证经验梳理超效率 FDH 开发中最高发的 4 类隐蔽错误供同行参考权重变量类型错误误将λ \lambdaλ设为连续型变量退化为传统 DEA失去 FDH 非凸特性。极端有效处理粗糙无可行解时直接标记为 NaN不做极端有效判定丢失重要信息。非期望产出约束颠倒非期望产出约束方向与期望产出混淆导致污染越重效率越高的荒谬结果。规模约束不匹配VRS 模式下未强制∑ λ 1 \sum \lambda 1∑λ1或与二元变量逻辑冲突。九、结论通过前沿特性验证、投入导向数值验算、产出导向数值验算、非期望产出约束校验四层完整验证可以得出最终结论DEA Performance 软件的超效率 FDH-VRS 模型严格遵循经典非凸前沿理论定义权重二元变量、规模报酬约束均实现正确。极端有效单元判定符合理论预期关键样本手动验算结果与软件输出零偏差数值精度可靠。非期望产出扩展处理规范弱可处置性约束方向正确适用于绿色效率等非凸评价场景。投入导向与产出导向双版本逻辑自洽效率排序与数据物理特征高度匹配。超效率 FDH 是细分场景下的重要效率评价工具对非凸生产特性的场景具备独特优势。本次验证通过的超效率 FDH 模块已完整集成至 DEA Performance 软件中支持全规模报酬切换、双导向计算、多列非期望产出可稳定用于行业标杆遴选、细分领域效率评优等各类实证与业务场景。DEA Performance 链接https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd5802