前置P4719 【模板】动态 DP - 洛谷默认你已经会线段树版本的动态 DP【题解】P4719 【模板】动态 DP线段树版本-CSDN博客0.回顾前面我们利用树链剖分将树变成了若干条重链再对每条链独立建立线段树。线段树的每个叶子维护一个转移矩阵。修改时先在线段树内更新然后通过链与链之间的轻边向上“跳”。这个算法时间复杂度单次第一个来自线段树内部维护链信息的复杂度。第二个来自修改点后沿着轻边向上跳的路径长度因为保证轻边数量是的。那么既然我们无法避免轻边的数量那能不能想办法把线段树的那个优化掉。从而达到理论最优的呢1.介绍 GBBT全局平衡二叉树Global Balanced Binary Tree, GBBT是一种巧妙的静态数据结构它被设计用来解决动态DP问题可以将传统树链剖分加线段树的复杂度优化到理想的同时兼具 LCT 的高效和树剖的实现便捷性。以下为该算法流程首先进行一次树链剖分找出每个点的重儿子。对于每个点定义一个权值也就是该点的轻子树大小之和 1。对于每条重链上的节点序列按照它们的值寻找带权中点。即左右两侧权值和尽可能平衡的点将该点作为这棵二叉搜索树的根然后递归处理左右序列。那为什么这能保证树高是走轻边根据树链剖分的性质从任意节点向上。每经过一条轻边所在子树大小至少翻倍因此轻边数量是。走重边在 GBBT 内向上走一条重边时由于我们的带权中点选取策略。当前节点在GBBT 中的子树大小至少翻倍因此重边数量也是。2.代码#include bits/stdc.h using namespace std; #define int long long // 最方便 const int N 1e6 10; const int inf 0x3f3f3f3f; int n, m; int a[N]; vectorint G[N]; int fa[N], siz[N], son[N]; // 原树父亲、子树大小、重儿子 int f[N][2]; // 考虑节点 x 不选 / 选 的 DP 贡献值 // 和线段树不同的是我们新建了 g 数组来辅助处理 // 实际逻辑和线段树版本是一样的g 数组不起任何实际作用只帮助理解 int g[N][2]; // 只考虑节点 x 的所有轻儿子不包括重儿子时 x 不选/选的 DP 贡献值 int gfa[N]; // GBBT 中的父亲 int ls[N], rs[N]; // GBBT 左右儿子 struct Matrix { int g[2][2]; Matrix() { memset(g, -0x3f, sizeof(g)); } void change(int g0, int g1) { g[0][0] g[0][1] g0; g[1][0] g1; g[1][1] -inf; } Matrix operator * (const Matrix b) const { Matrix c; for (int i 0; i 2; i ) for (int j 0; j 2; j ) for (int k 0; k 2; k ) c.g[i][j] max(c.g[i][j], g[i][k] b.g[k][j]); return c; } } mt[N], tr[N]; // 第一次 DFS求 fa, siz, son, 静态 DP void dfs(int x) { siz[x] 1; f[x][1] a[x]; g[x][0] 0; // 初始化轻儿子贡献 g[x][1] a[x]; for (int y : G[x]) if (y ! fa[x]) { fa[y] x; dfs(y); siz[x] siz[y]; if (siz[y] siz[son[x]]) { son[x] y; } f[x][0] max(f[y][0], f[y][1]); f[x][1] f[y][0]; } } int b[N], bs[N]; // b[]重链节点序列按深度从小到大bs[]顺着重链权值前缀和 // GBBT 重链内处理 // 传参当前处理的重链节点序列区间 [l, r] // 返回值构建出的子树的根节点编号 int g_build(int l, int r) { // 递归边界区间只有一个节点直接作为叶子返回 if (l r) { tr[b[l]] mt[b[l]]; // 该节点的矩阵就是它自己的转移矩阵 return b[l]; } // 二分寻找带权中点 int L l, R r, pm l; int len bs[r] - bs[l - 1]; // len当前区间所有节点的权值总和 // 二分查找带权中点让左半部分的权值和尽量接近总权值的一半 // 这样能保证左右子树平衡路径长度 O(log n) while (L R) { int mid (L R) 1; // 检查 [l, mid] 区间的权值和是否 ≤ 总权值的一半 if ((bs[mid] - bs[l - 1]) * 2 len) { L mid 1; // 可以继续右移让左半更大 pm mid; } else { R mid - 1; // 左半太大需要左移 } } // 以带权中点 pm 作为根节点 int rt b[pm]; // 取出中点对应的节点编号作为根 tr[rt] mt[rt]; // 初始矩阵为当前节点的转移矩阵 // 递归构建左右子树 // 构建左子树[l, pm - 1]深度更浅的节点 if (l pm - 1) { ls[rt] g_build(l, pm - 1); // 递归构建左儿子指向子树根 gfa[ls[rt]] rt; // 设置左儿子在 GBBT 中的父亲为 rt tr[rt] tr[ls[rt]] * tr[rt]; // 矩阵乘法顺序左子树浅层× 当前节点 // 因为中序遍历是从浅到深所以左子树在前 } // 构建右子树[pm 1, r]深度更深的节点 if (r pm 1) { rs[rt] g_build(pm 1, r); // 递归构建右儿子指向子树根 gfa[rs[rt]] rt; // 设置右儿子在 GBBT 中的父亲为 rt tr[rt] tr[rt] * tr[rs[rt]]; // 矩阵乘法顺序当前节点 × 右子树深层 // 中序遍历顺序左 - 中 - 右所以右子树在后 } return rt; // 返回当前子树的根节点 } // 处理整棵树轻链间的连接和重链节点序列和前缀和 int build(int u) { int v u, tp 0; // 处理所有轻子树并计算当前节点的轻儿子贡献使用静态 f while (v) { int g0 0, g1 a[v]; // g0 不选 vg1 强制选 v for (int y : G[v]) { if (y ! fa[v] y ! son[v]) { g0 max(f[y][0], f[y][1]); g1 f[y][0]; } } g[v][0] g0; g[v][1] g1; mt[v].change(g0, g1); // 递归构建轻子树的 GBBT并通过 gfa 连接到 v for (int y : G[v]) { if (y ! fa[v] y ! son[v]) { int lcrt build(y); gfa[lcrt] v; } } v son[v]; // 下一个重儿子 } // 收集当前重链节点 while (u) { b[ tp] u; bs[tp] bs[tp - 1] siz[u] - siz[son[u]]; u son[u]; } int RT g_build(1, tp); // 有完整重链后处理 return RT; } // 判断节点 x 是否通过轻边连接到父亲是 1不是 0 // 在 GBBT 中每个节点都有 gfa[x] 指向它的父节点 // 可能是同一条重链内的父亲也可能是轻边连接的父链 // 但只有和父亲在同一条重链上才会是父亲的左 / 右子节点 inline bool isLight(int u) { return gfa[u] ls[gfa[u]] ! u rs[gfa[u]] ! u; } // 动态 DP 更新 void update(int u, int k) { g[u][1] k - a[u]; a[u] k; mt[u].change(g[u][0], g[u][1]); // 沿 GBBT 向上更新 while (u) { Matrix old tr[u]; // 重新计算当前节点的矩阵 // 当前节点的矩阵 左儿子矩阵 × 当前节点val × 右儿子矩阵 tr[u] mt[u]; if (ls[u]) tr[u] tr[ls[u]] * tr[u]; if (rs[u]) tr[u] tr[u] * tr[rs[u]]; // 处理轻边更新 // 如果 u 是通过轻边连接到父节点的即 u 是一条重链的根 // 那么 u 这棵子树的 DP 值发生了变化需要更新父节点的 g 值 if (isLight(u)) { // 计算 u 子树在 不选 / 选根节点 时的最大权值即整条重链的 DP 结果 // 注意old 和 tr 中的 g[0][0] 表示子树根不选时的最大权 // g[1][0] 表示子树根选时的最大权 int oldAns max(old.g[0][0], old.g[1][0]); // 更新前的整棵子树 DP 值 int newAns max(tr[u].g[0][0], tr[u].g[1][0]); // 更新后的整棵子树 DP 值 // 更新父节点的 g[0]父节点不选时这个轻儿子可任意 // 父节点不选时轻儿子贡献增加newAns - oldAns g[gfa[u]][0] newAns - oldAns; // 更新父节点的 g[1]父节点选时这个轻儿子必须不选 // 父节点选时轻儿子必须不选所以只取 g[0][0]根节点不选的情况 g[gfa[u]][1] tr[u].g[0][0] - old.g[0][0]; // 因为父节点的g值变了需要重新构造父节点的转移矩阵 mt[gfa[u]].change(g[gfa[u]][0], g[gfa[u]][1]); } // 继续向上跳到 GBBT 中的父节点 u gfa[u]; } } signed main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cin n m; for (int i 1; i n; i) cin a[i]; for (int i 1; i n; i) { int u, v; cin u v; G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); } dfs(1); // 第一次 DFS求 fa, siz, son, 静态 DP int root build(1); int last -1; while (m--) { int x, y; cin x y; if (last ! -1) { // 洛谷模版题要求强制在线异或 x ^ last; } update(x, y); int ans max(tr[root].g[0][0], tr[root].g[1][0]); cout ans \n; last ans; } return 0; }3.到底和线段树比快哪了