具身智能数学基础(05)：集合与常用逻辑

内容必须掌握的后面在哪用到集合的概念与关系三要素确定性、互异性、无序性子集⊆ \subseteq⊆、真子集⊊ \subsetneq⊊子集个数2 n 2^n2n状态空间与约束集合的描述语言集合的运算交∩ \cap∩、并∪ \cup∪、补∁ U \complement_U∁U​德摩根律传感器视野融合、点云范围筛选、可行域的交并运算充分条件与必要条件四种类型的判断与集合包含关系的对应控制系统稳定性判据的表述、算法正确性证明的逻辑链条全称量词与存在量词∀ \forall∀、∃ \exists∃量词命题的否定ε \varepsilonε-δ \deltaδ极限定义的语言基础、形式化安全性规约一、集合的概念与运算一组对象构成一个集合每个对象叫元素。集合的元素必须满足三条性质确定性任何一个对象要么属于这个集合要么不属于不允许模棱两可互异性同一集合中的元素互不相同重复出现只算一个比如{ 1 , 1 , 2 } \{1,1,2\}{1,1,2}就是{ 1 , 2 } \{1,2\}{1,2}无序性元素的排列顺序不影响集合本身{ 1 , 2 } \{1,2\}{1,2}和{ 2 , 1 } \{2,1\}{2,1}是同一个集合a aa是集合A AA的元素记作a ∈ A a \in Aa∈A不是则记作a ∉ A a \notin Aa∈/A。集合可以用列举法把元素一一列出如{ 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\}{1,2,3}或描述法写出元素满足的条件如{ x ∣ x 2 4 } \{x \mid x^2 \lt 4\}{x∣x24}表示。A AA的每个元素都是B BB的元素称A AA是B BB的子集记A ⊆ B A \subseteq BA⊆B若还存在B BB中元素不在A AA中则A AA是B BB的真子集记A ⊊ B A \subsetneq BA⊊B。A ⊆ B A \subseteq BA⊆B且B ⊆ A B \subseteq AB⊆A等价于A B A BAB——这是判断两个集合相等的标准手段不去比较看起来像不像而是证明双向包含。不含任何元素的集合叫空集∅ \varnothing∅是任何集合的子集。子集个数若集合A AA有n nn个元素则A AA的子集共有2 n 2^n2n个。证明构造A AA的一个子集等价于对A AA的每个元素独立做一次选入或不选入的二选一决定。n nn个元素各自两种选择、互不影响一共产生2 n 2^n2n种不同的选择组合每种组合对应唯一一个子集全部选入对应A AA本身全部不选对应∅ \varnothing∅不同组合给出的子集也各不相同所以子集总数就是2 n 2^n2n。由此可以进一步数出真子集有2 n − 1 2^n-12n−1个排除全选这一种也就是A AA自身非空子集有2 n − 1 2^n-12n−1个排除全不选对应的∅ \varnothing∅非空真子集有2 n − 2 2^n-22n−2个两种都排除。三种基本运算设全集为U UUA AA、B BB是U UU的子集交集A ∩ B { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A \cap B \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}A∩B{x∣x∈A且x∈B}并集A ∪ B { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A \cup B \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}A∪B{x∣x∈A或x∈B}补集∁ U A { x ∣ x ∈ U 且 x ∉ A } \complement_U A \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}∁U​A{x∣x∈U且x∈/A}运算律里最值得记住的是德摩根律∁ U ( A ∩ B ) ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) \complement_U(A \cap B) (\complement_U A) \cup (\complement_U B)∁U​(A∩B)(∁U​A)∪(∁U​B)∁ U ( A ∪ B ) ( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B ) \complement_U(A \cup B) (\complement_U A) \cap (\complement_U B)∁U​(A∪B)(∁U​A)∩(∁U​B)证明以第一条为例用元素对应法x ∈ ∁ U ( A ∩ B ) ⟺ x ∉ A ∩ B ⟺ ¬ ( x ∈ A 且 x ∈ B ) ⟺ x ∉ A 或 x ∉ B ⟺ x ∈ ∁ U A 或 x ∈ ∁ U B ⟺ x ∈ ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ) x \in \complement_U(A \cap B) \iff x \notin A \cap B \iff \neg(x \in A \text{ 且 } x \in B) \iff x \notin A \text{ 或 } x \notin B \iff x \in \complement_U A \text{ 或 } x \in \complement_U B \iff x \in (\complement_U A) \cup (\complement_U B)x∈∁U​(A∩B)⟺x∈/A∩B⟺¬(x∈A且x∈B)⟺x∈/A或x∈/B⟺x∈∁U​A或x∈∁U​B⟺x∈(∁U​A)∪(∁U​B)关键的一步是¬ ( p 且 q ) ⟺ ¬ p 或 ¬ q \neg(p \text{ 且 } q) \iff \neg p \text{ 或 } \neg q¬(p且q)⟺¬p或¬q——否定一个且命题等于把两边分别否定后改成或。第二条德摩根律同理把且换成或即可。这条否定规则在第三节的量词否定里会再出现一次是同一个逻辑结构。二、充分条件与必要条件若p pp成立能推出q qq成立记p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q称p pp是q qq的充分条件q qq是p pp的必要条件。按p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q与q ⇒ p q \Rightarrow pq⇒p是否同时成立分四种情况p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q成立但q ⇒ p q \Rightarrow pq⇒p不成立p pp是q qq的充分不必要条件q ⇒ p q \Rightarrow pq⇒p成立但p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q不成立p pp是q qq的必要不充分条件p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q且q ⇒ p q \Rightarrow pq⇒pp pp是q qq的充要条件记p ⟺ q p \iff qp⟺q两个方向都不成立p pp是q qq的既不充分也不必要条件这四种情况和集合包含关系完全对应。把命题p pp、q qq各自对应它的成立集合P { x ∣ p ( x ) } P \{x \mid p(x)\}P{x∣p(x)}、Q { x ∣ q ( x ) } Q \{x \mid q(x)\}Q{x∣q(x)}则p ⇒ q p \Rightarrow qp⇒q就是P ⊆ Q P \subseteq QP⊆Q——因为p pp成立能推出q qq成立逐字翻译过来正是P PP中的每个元素都在Q QQ中。于是判断充分必要关系可以直接转化成判断两个集合谁包含谁P ⊊ Q P \subsetneq QP⊊Q对应充分不必要Q ⊊ P Q \subsetneq PQ⊊P对应必要不充分P Q P QPQ对应充要两者互不包含则既不充分也不必要。遇到抽象的命题不好直接判断推出关系时先把p pp、q qq各自的成立范围写成集合画个包含图答案就直观了。三、全称量词与存在量词全称量词所有“任意记作∀ \forall∀全称命题写成∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x \in M, \ p(x)∀x∈M,p(x)意思是M MM中每个x xx都使p ( x ) p(x)p(x)成立。存在量词存在”有一个记作∃ \exists∃存在命题写成∃ x ∈ M , p ( x ) \exists x \in M, \ p(x)∃x∈M,p(x)意思是M MM中至少有一个x xx使p ( x ) p(x)p(x)成立。量词命题的否定遵循固定规则¬ ( ∀ x ∈ M , p ( x ) ) ⟺ ∃ x ∈ M , ¬ p ( x ) \neg(\forall x \in M, \ p(x)) \iff \exists x \in M, \ \neg p(x)¬(∀x∈M,p(x))⟺∃x∈M,¬p(x)¬ ( ∃ x ∈ M , p ( x ) ) ⟺ ∀ x ∈ M , ¬ p ( x ) \neg(\exists x \in M, \ p(x)) \iff \forall x \in M, \ \neg p(x)¬(∃x∈M,p(x))⟺∀x∈M,¬p(x)全称的否定是存在存在的否定是全称同时把内部的判断也否定掉。这条规则本质上是第一节德摩根律的推广把且换成对所有x xx都……“相当于把M MM中所有元素的判断结果逐个且起来把或换成存在某个x xx……”相当于逐个或起来德摩根律否定且变或、否定或变且就自然扩展成了否定全称变存在、否定存在变全称。要证明一个全称命题为假只需举出一个反例——这正是存在命题的否定形式也是反证法的出发点。对应视频正文看得懂就跳过卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的。集合P4 集合的概念25:09—必看P5 子集的概念39:50—必看P6 交并补运算23:29—必看常用逻辑用语P10 充分必要条件30:03—必看P11 全称与存在量词15:31—必看实际要看的约 2 小时 14 分。合集里另有综合大题练习“易错大盘点”新定义问题三集标题就是应试技巧和高考创新题型与本篇内容无关跳过。以上集数、标题、时长通过浏览器打开合集页面直接读取播放列表核实未逐集观看。