过去虽然没有细看，但印象里一直觉得变分自编码器（Variational Auto-Encoder，VAE）是个好东西。于是趁着最近看概率图模型的三分钟热度，我决定也争取把VAE搞懂。于是乎照样翻了网上很多资料，无一例外发现都很含糊，主要的感觉是公式写了一大通，还是迷迷糊糊的，最后好不容易觉得看懂了，再去看看实现的代码，又感觉实现代码跟理论完全不是一回事啊。终于，东拼西凑再加上我这段时间对概率模型的一些积累，并反复对比原论文《Auto-Encoding Variational Bayes》，最后我觉得我应该是想明白了。其实真正的VAE，跟很多教程说的还真不大一样，很多教程写了一大通，都没有把模型的要点写出来～于是写了这篇东西，希望通过下面的文字，能把VAE初步讲清楚。分布变换通常我们会拿VAE跟GAN比较，的确，它们两个的目标基本是一致的——希望构建一个从隐变量ZZZ生成目标数据XXX的模型，但是实现上有所不同。更准确地讲，它们是假设了ZZZ服从某些常见的分布（比如正态分布或均匀分布），然后希望训练一个模型X=g(Z)X=g(Z)X=g(Z)，这个模型能够将原来的概率分布映射到训练集的概率分布，也就是说，它们的目的都是进行分布之间的变换。生成模型的难题就是判断生成分布与真实分布的相似度，因为我们只知道两者的采样结果，不知道它们的分布表达式那现在假设ZZZ服从标准的正态分布，那么我就可以从中采样得到若干个Z1,Z2,…,ZnZ_1,Z_2,\ldots,Z_nZ1,Z2,…,Zn，然后对它做变换得到X^1=g(Z1),X^2=g(Z2),…,X^n=g(Zn),\hat{X}_1=g(Z_1),\hat{X}_2=g(Z_2),\ldots,\hat{X}_n=g(Z_n),X^1=g(Z1),X^2=g(Z2),…,X^n=g(Zn),我们怎么判断这个通过ggg构造出来的数据集，它的分布跟我们目标的数据集分布是不是一样的呢？有读者说不是有KL散度吗？当然不行，因为KL散度是根据两个概率分布的表达式来算它们的相似度的，然而目前我们并不知道它们的概率分布的表达式，我们只有一批从构造的分布采样而来的数据{ X^1,X^2,…,X^n},\{\hat{X}_1,\hat{X}_2,\ldots,\hat{X}_n\},{X^1,X^2,…,X^n},还有一批从真实的分布采样而来的数据{ X1,X2,…,Xn}\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}{X1,X2,…,Xn}（也就是我们希望生成的训练集）。我们只有样本本身，没有分布表达式，当然也就没有方法算KL散度。虽然遇到困难，但还是要想办法解决的。GAN的思路很直接粗犷：既然没有合适的度量，那我干脆把这个度量也用神经网络训练出来吧。就这样，WGAN就诞生了，详细过程请参考《互怼的艺术：从零直达WGAN-GP》。而VAE则使用了一个精致迂回的技巧。VAE漫谈这一部分我们先回顾一般教程是怎么介绍VAE的，然后再探究有什么问题，接着就自然地发现了VAE真正的面目。经典回顾首先我们有一批数据样本{ X1,…,Xn}\{X_1,\ldots,X_n\}{X1,…,Xn}，其整体用XXX来描述，我们本想根据{ X1,…,Xn}\{X_1,\ldots,X_n\}{X1,…,Xn}得到XXX的分布p(X)p(X)p(X)，如果能得到的话，那我直接根据p(X)p(X)p(X)来采样，就可以得到所有可能的XXX了（包括{ X1,…,Xn}\{X_1,\ldots,X_n\}{X1,…,Xn}以外的），这是一个终极理想的生成模型了。当然，这个理想很难实现，于是我们将分布改一改p(X)=∑Zp(X∣Z)p(Z)(1)p(X)=\sum_Z p(X\mid Z)p(Z)\tag{1}p(X)=Z∑p(X∣Z)p(Z)(1)这里我们就不区分求和还是求积分了，意思对了就行。此时p(X∣Z)p(X\mid Z)p(X∣Z)就描述了一个由ZZZ来生成XXX的模型，而我们假设ZZZ服从标准正态分布，也就是p(Z)=N(0,I)。p(Z)=\mathcal{N}(0,I)。p(Z)=N(0,I)。如果这个理想能实现，那么我们就可以先从标准正态分布中采样一个ZZZ，然后根据ZZZ来算一个XXX，也是一个很棒的生成模型。接下来就是结合自编码器来实现重构，保证有效信息没有丢失，再加上一系列的推导，最后把模型实现。框架的示意图如下：vae的传统理解看出了什么问题了吗？如果像这个图的话，我们其实完全不清楚：究竟经过重新采样出来的ZkZ_kZk，是不是还对应着原来的XkX_kXk，所以我们如果直接最小化D(X^k,Xk)2\mathcal{D}(\hat X_k,X_k)^2D(X^k,Xk)2（这里D\mathcal{D}D代表某种距离函数）是很不科学的，而事实上你看代码也会发现根本不是这样实现的。也就是说，很多教程说了一大通头头是道的话，然后写代码时却不是按照所写的文字来写，可是他们也不觉得这样会有矛盾～VAE初现其实，在整个VAE模型中，我们并没有去使用p(Z)p(Z)p(Z)（隐变量空间的分布）是正态分布的假设，我们用的是假设p(Z∣X)p(Z\mid X)p(Z∣X)（后验分布）是正态分布！！具体来说，给定一个真实样本XkX_kXk，我们假设存在一个专属于XkX_kXk的分布p(Z∣Xk)p(Z\mid X_k)p(Z∣Xk)（学名叫后验分布），并进一步假设这个分布是（独立的、多元的）正态分布。为什么要强调“专属”呢？因为我们后面要训练一个生成器X=g(Z)X=g(Z)X=g(Z)，希望能够把从分布p(Z∣Xk)p(Z\mid X_k)p(Z∣Xk)采样出来的一个ZkZ_kZk还原为XkX_kXk。如果假设p(Z)p(Z)p(