最小距离分类器例题——马氏距离

【例 1】广东省湛江市地处亚热带，三面临海，对虾养殖环境优越，拥有最完整的对虾产业链。市民餐桌上的对虾有养殖对虾和海捕对虾两类。但是两类在风味、口感和商业价值上存在一定差异，海捕对虾较养殖对虾鲜味浓，口感也不同，因此海捕对虾的价格也明显高于养殖对虾的价格。为谋求利益，养殖对虾代替海捕对虾的现象时常发生。根据以往数据，养殖对虾和海捕对虾的体长h (cm)h \, (\text{cm})h(cm)分别服从正态分布N(13.5,0.52)N(13.5, 0.5^2)N(13.5,0.52)和N(18.25,1.752)N(18.25, 1.75^2)N(18.25,1.752)。现有一只体长15 cm15 \, \text{cm}15cm的对虾，如何仅根据体长判断它是养殖对虾还是海捕对虾？图 1 养殖对虾和海捕对虾的体长 (cm) 的分布这是一个一维数据的两总体判别问题，养殖对虾和海捕对虾的体长所在的两个总体分别是X1∼N(13.5,0.52)X_1 \sim N(13.5, 0.5^2)X1​∼N(13.5,0.52)和X2∼N(18.25,1.752)X_2 \sim N(18.25, 1.75^2)X2​∼N(18.25,1.752)，这两个分布的密度曲线如图 1。记μ1=13.5\mu_1 = 13.5μ1​=13.5，μ2=18.25\mu_2 = 18.25μ2​=18.25，σ1=0.5\sigma_1 = 0.5σ1​=0.5，σ2=1.75\sigma_2 = 1.75σ2​=1.75，对于新的样品x0=15 cmx_0 = 15 \, \text{cm}x0​=15cm，它到总体X1,X2X_1, X_2X1​,X2​的中心（均值）的欧氏距离分别是：d1E(x0,μ1)=∣15−13.5∣=1.5,d2E(x0,μ2)=∣15−18.25∣=3.25, d_1^{\text{E}}(x_0, \mu_1) = |15 - 13.5| = 1.5, \quad d_2^{\text{E}}(x_0, \mu_2) = |15 - 18.25| = 3.25,d1E​(x0​,μ1​)=∣15−13.5∣=1.5,d2E​(x0​,μ2​)=∣15−18.25∣=3.25,即x0x_0x0​到X1X_1X1​更近，它应该是一只养殖对虾。但是图 1 直观告诉，它应该归属于海捕对虾。这是因为x0=15x_0=15x0​=15处于两个总体交界处的右侧。出现这种问题的原因是因为欧氏距离没有考虑两个分布的离散程度。把欧氏距离除以对应总体的标准差，得到相对距离：d1M(x0,μ1)=∣15−13.5∣σ1=3,d2M(x0,μ2)=∣15−18.25∣σ2=1.86, d_1^{\text{M}}(x_0, \mu_1) = \frac{|15 - 13.5|}{\sigma_1} = 3, \quad d_2^{\text{M}}(x_0, \mu_2) = \frac{|15 - 18.25|}{\sigma_2} = 1.86,d1M​(x0​,μ1​)=σ1​∣15−13.5∣​=3,d2M​(x0​,μ2​)