1. 空间张量场数据可视化1.1. 张量是矢量的推广标量可看作0阶张量向量可看作1阶张量1.2. 在部分科学计算领域张量场是一类重要的场数据1.2.1. 张量场被广泛用于数学、物理和工程领域如微分几何、基础物理、光学、固体机械学、流体动力学、环境工程、航空航天和弥散张量成像等1.3. 张量场的数学理论是数学界的研究热点逐步在图形和可视化领域得到应用1.4. 张量计算如张量的导数、张量的分解和张量之间的距离1.5. 张量场不变量的计算如张量形状、轨迹、各向异性分数值、张量场模式等1.6. 张量场结构计算如张量场分割张量场的峰、谷和裂缝以及基于动力系统理论的拉格朗日连贯结构计算等1.7. 基于几何的方法显式地生成刻画某类张量场属性的几何表达1.8. 基于纹理的方法将张量场转换为一张或动态演化的图像纹理图释张量场的全局属性1.8.1. 核心思路是将张量场简化为向量场进而采用线积分法、点噪声等方法显示1.9. 基于拓扑的方法计算张量场的拓扑特征如关键点、奇点、灭点、分叉点和退化线等依此将感兴趣区域剖分为具有相同属性的子区域并建立对应的图结构实现拓扑简化、拓扑跟踪和拓扑显示1.10. 张量场可视化的两类典型案例是弥散加权核磁共振成像和流体力学计算1.11. 张量场的数学描述1.11.1. 张量是一个定义在向量空间和对偶空间的笛卡尔积上的多线性函数其坐标是 n维空间有nr个分量其中每个分量都是坐标的函数1.11.2. 弥散1.11.2.1. 二阶对称张量场实例1.11.2.2. Diffusion1.11.2.3. 在医学上弥散指分子的随机不规则运动是体内的物质运转方式之一又称布朗运动Brownian Motion。1.11.2.4. 弥散是一个物理过程其原始动力为分子所具有的热能1.11.2.5. 弥散是一个三维过程分子沿空间某一方向弥散的距离相等或不相等1.11.2.6. 一种是指在完全均匀的介质中分子的运动由于没有障碍向各个方向运动的概率相同称为各向同性Isotropic弥散1.11.2.7. 另一种弥散具有方向依赖性在按一定方向排列的组织中分子向各个方向弥散的概率不相同则称为各向异性Anisotropic弥散1.12. 基于几何的方法1.12.1. 图标法1.12.1.1. 采样张量场选取一些有代表性的采样点1.12.1.2. 遍历每个采样位置根据张量信息选取合适的几何表达方法构建张量图标1.12.1.3. 立方体和圆柱体图元可清晰地揭示张量的主特征方向1.12.2. 纤维追踪法1.12.2.1. 将张量场转化、简化为向量场进而借鉴向量场的可视化方法如流线法等呈现张量场数据的某方面特征1.13. 基于纹理的方法1.13.1. 直接体可视化1.13.1.1. 对原始张量场数据集进行噪声过滤后可选取其部分属性作为直接体可视化的域变量1.13.2. 线积分卷积1.13.2.1. 将二阶张量场视为一个连续场并基于张量的特征向量、特征值等度量对其进行可视化1.13.3. 基于噪声纹理的方法1.13.3.1. 生成具有一定位置和强度分布的点集如不同位置分布、不同强度分布和各向同性滤波作为噪声纹理输入然后根据张量场的特征向量采用类似于线积分卷积的形式对噪声纹理进行滤波生成图像滤波后的纹理图像中的条纹方向反映出张量场的特征方向趋势1.14. 基于拓扑的方法1.14.1. 是向量场可视化中的拓扑方法在张量的特征向量场上的一种扩展1.14.2. 张量不变量法1.14.2.1. Tensor Invariants1.14.2.2. 采用一个与张量形状相关的标量场描述目标张量场称为张量不变量1.14.2.3. 常用的不变量有张量的迹Trace、部分各向异性和张量的模Mode1.14.3. 拉格朗日分析法1.14.3.1. Lagrangian Analysis1.14.3.2. 将特征向量场视为一个双向向量场由此可以将向量可视化中采用的拉格朗日相干结构Lagrangian Coherent Structures,LCS的概念应用于特征向量场1.14.3.3. 主要思想是量化相邻的虚拟粒子沿着特征向量场所定义的双向向量场流动的行为差异1.15. 高阶张量场可视化1.15.1. 图标法1.15.1.1. 采样高阶张量场1.15.1.2. 对每个采样点根据当前的高阶张量构建高阶张量图标1.15.2. 纤维追踪法1.15.2.1. 将纤维追踪法应用于高阶张量与应用于二阶对称张量的主要区别在于对高阶张量实行张量分解可得到一个或多个方向1.15.3. 纹理法1.15.3.1. 将高阶张量场转化为可描述该高阶张量场物理属性的标量场并将它视为纹理进行可视化1.15.3.2. 常用的标量属性有广义部分各向异性Generalized Fractional Anisotropy,GFA和高阶张量的等级Rank2. 多变量空间数据场可视化2.1. 不同于传统的空间数据在每个节点上只有一个数据属性多变量空间数据在每个节点上包含多个不同类型的数据属性多个标量场数据、多个标量场混合多个向量场甚至张量场数据2.2. 多变量空间数据可视化的目的是抽取和表达数据场中多个属性及其相互关系2.3. 难点和挑战2.3.1. 克服多变量、复合类型、内在结构复杂且互相交织的数据特性2.3.2. 设计有效的视觉编码辅助用户同步地分析提取和表达这些信息2.3.3. 观察和研究数据属性及其相互之间的关系2.3.4. 发现未知的新特征和新现象2.4. 特征表达与关联分析2.4.1. 基本手段是采用特征表达和关联分析方法抽取多变量数据场的特征计算特征的数值、几何、拓扑等信息并结合统计分析、信息论、数据挖掘等方法实现变量、体素、数值、特征及其相互之间的关联分析探索数据隐含的相似性和差异性2.4.2. 特征表达与抽取2.4.2.1. 任务是构建和处理多变量数据场的特征几何、拓扑、网格结构等提取可视化以及可视表达的对象即数据属性和衍生特征、相互之间的关系以及变化趋势等2.4.2.2. 轮廓树是一种抽象的拓扑表示方法能够捕捉标量场中水平集的变化也用于识别重要的等值面2.4.3. 关联分析2.4.3.1. 五种不同的表现形式*变量间的相关性、体素间的相关性、数值间的相关性、特征间的相关性和混合相关性2.4.3.2. 混合相关性*是分析变量、体素、标量和特征之间的关联性2.4.4. 可视化与交互2.4.4.1. 视觉通道与融合2.4.4.1.1. 用不同的视觉通道映射和编码各个属性及其相互之间的关系和关联2.4.4.1.2. 分别可视化各个数据场的数据属性再进行融合2.4.4.1.3. 图标信息和纹理信息作为强大的、可携带和编码丰富信息的表达载体在多变量可视化技术中最为常见2.4.4.1.4. 数据融合和混合绘制是多变量可视化的另一个重要研究方向2.4.4.1.5. 基于数据融合和混合绘制的多变量可视化方法直接处理数据属性可以有机结合统计分析以及特征抽取等数据处理手段进行可视分析因而研究手段更加丰富2.4.5. 交互探索2.4.5.1. 多变量可视化领域的交互基本上已经形成了以多关联视图为基础、二维视图用于显示和分析属性关系、三维视图用于显示物理数据空间、使用高维传输函数和画刷及其衍生技术为特征选取技术、以焦点上下文或其变种为数据和特征显示方法的基本框架2.5. 多变量数据越来越复杂数据分析越来越抽象研究重心逐渐偏向于对数据属性之间的关系和变化趋势的分析2.6. 无论是特征选取还是数据属性和关联分析基于统计分析和机器学习的交互方法在近年的研究工作中所占的比重越来越大并且成为主流