商的乘方等于乘方的商?

这个问题主要涉及两个方面一个是代数变形的原理另一个是求极限的技巧。你标注的地方是解题过程中非常关键的一步我们可以从以下两点来理解1. 代数变形原理怎么变出来的这一步利用了幂的运算法则商的乘方等于乘方的商。公式表示为anbn(ab)n\frac{a^n}{b^n} \left(\frac{a}{b}\right)^nbnan​(ba​)n在这个题目中分子上有(sin⁡(2x))3(\sin(2x))^3(sin(2x))3我们人为构造了一个分母(2x)3(2x)^3(2x)3所以(sin⁡(2x))3(2x)3(sin⁡(2x)2x)3\frac{(\sin(2x))^3}{(2x)^3} \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^3(2x)3(sin(2x))3​(2xsin(2x)​)3同时后面那个8x35x3\frac{8x^3}{5x^3}5x38x3​是这样来的分子原来的乘数是(2x)3(2x)^3(2x)3展开就是23⋅x38x32^3 \cdot x^3 8x^323⋅x38x3。分母原来的乘数是x⋅(5x2)5x3x \cdot (5x^2) 5x^3x⋅(5x2)5x3。将它们提取出来放在一起就是为了后面的消项约掉x3x^3x3。2. 求极限的策略为什么要这么变之所以费劲把式地写成这个样子是为了利用重要极限公式lim⁡θ→0sin⁡θθ1\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} 1θ→0lim​θsinθ​1在求lim⁡x→0\lim_{x \to 0}limx→0​的时候我们看到有sin⁡(2x)\sin(2x)sin(2x)为了利用上面的公式分母必须也得有个2x2x2x。但它是三次方(sin⁡(2x))3(\sin(2x))^3(sin(2x))3所以我们需要凑出一个(2x)3(2x)^3(2x)3与它配对。写成(sin⁡(2x)2x)3\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^3(2xsin(2x)​)3后当x→0x \to 0x→0时括号里面的部分趋近于111那么整个项就趋近于1311^3 1131。总结一下这样变换的目的是为了**“凑出标准形式”**。把那些极限为111的项如sin⁡θθ\frac{\sin\theta}{\theta}θsinθ​和tan⁡θθ\frac{\tan\theta}{\theta}θtanθ​分离出来剩下就只有简单的幂函数8x35x3\frac{8x^3}{5x^3}5x38x3​。这样原本复杂的三角函数极限问题就简化成了常数的计算即1⋅1⋅85851 \cdot 1 \cdot \frac{8}{5} \frac{8}{5}1⋅1⋅58​58​。