# 第一章 引言## 1.1 喷墨打印压电式按需滴落喷墨打印Basaran 等2013Li 等2019Wijshoff2010是一项现代广泛使用的技术也是未来许多应用和研究中有前景的工具。喷墨打印机在工业中被广泛用于在纺织品、陶瓷和包装上打印图像、图案和标签Hoath2016。它们越来越多地被用于先进制造3D 打印Wang 等2016、化学Tamura 等2014和生物医学应用Herran2013Spears 等2016、微电子和 MEMS 器件的生产Marinis2009Parashkov 等2005。聚合物墨水如 PEDOTGroenendaal 等2000在新兴领域如印刷线路甚至生物电子学Donahue 等2020中越来越受欢迎Gan 等2009。本研究关注的是按需滴落喷墨打印头。这些打印头包含数百个充满墨水的平行通道每个通道一侧有一个压电致动器另一侧有一个 20–50 微米的喷嘴。每个喷嘴末端都有一个自由表面墨水在此与空气接触。当需要喷射液滴时向致动器施加电信号。致动器使通道边界移动几百纳米迫使墨滴从喷嘴喷出落到下方移动的基板上。在液滴形成阶段之后声振荡在通道内回荡并通过黏性和热耗散逐渐衰减Beltman1999bDijksman2019Tijdeman1975。## 挑战与目标喷墨打印头系统工程设计的主要目标是单个液滴的特性如体积和形状、高频喷射能力以及在变化操作条件下的喷射一致性和可重复性流体退化、喷嘴表面润湿、温度变化Shin 等2011。制造商希望提高打印分辨率从而减小液滴尺寸。近期研究报告称可以实现皮升级分辨率的喷射Chen 和 Basaran2002Gan 等2009Snyder 等2019。还需要控制液滴速度以避免连续液滴在到达打印基板之前发生合并Khalate 等2011。制造商希望提高液滴喷射频率同时保持或改善液滴的可重复性。然而液滴喷射频率与液滴可重复性之间存在权衡。如果一个液滴的特性取决于距前一个液滴的时间打印的锐利边缘会变得模糊。如果前一个液滴的声回荡在下一个液滴被要求时尚未充分衰减就会发生这种情况。随着喷射间隔时间减小每个液滴越来越受到前一次喷射残余振荡的影响。这将液滴打印速率限制在约每秒 100,000 个Basaran 等2013Miers 和 Zhou2017。制造商希望提高这一速率但要做到这一点需要回荡衰减得更快。例如可以通过设计被动阻尼残余振荡的打印头形状来实现Kungurtsev 和 Juniper2019。制造商还改变发送到打印头微通道的电波形以通过开环控制阻尼残余振荡Khalate 等2011。这些波形目前是通过大量实验活动中的试错法来调整的。在喷墨打印机中每个喷嘴功能完全相同且所有液滴都相同至关重要。如果单个喷嘴停止工作就会在基板上留下一条未打印的直线。因此墨水被持续冲刷通过通道Crankshaw 等2016。这冲走了任何气泡也减少了任何固体杂质卡在喷嘴中的机会。然而这是有代价的需要一个泵来推动墨水通过狭窄通道。更快的流速或更狭窄的通道需要更多功率这些功率通过打印头中的黏性耗散消耗掉。边界变形和压力波在单个通道内的传播不可避免地导致串扰Voit 等2011。当多个通道同时喷射时液滴速度降低导致点放置误差。在某些应用中这意味着同一时间只能每隔三个喷嘴激活一个Beurer 和 Kretschmer1997这实际上降低了液滴喷射频率。## 喷墨微通道内流动的建模喷墨打印头微通道内流体的运动可以描述为具有黏性和热效应的可压缩流动由可压缩 Navier–Stokes 方程控制。当流动的马赫数很小时这些方程可以简化。可压缩低马赫数流动的渐近分析Hunter2004在 Müller1998和 Alazard2008中给出完整可压缩 Navier–Stokes 方程组的不可压缩极限在 Lin1995中讨论Rehm 等1978给出了热驱动浮力流动的低马赫数近似。一个特别有趣的案例是 Culick 等2012对反应流的双参数展开平均流动分量和脉动流动分量在低平均和脉动流动马赫数下的一阶是独立的可以分别建模。微通道中可压缩流动的低马赫数展开产生了热黏性声学方程组Chu1965。尽管一些早期研究认为喷墨微通道流动可以描述为不可压缩的Beasley1977但 Bogy 和 Talke1984、Dijksman1984对压电套筒收缩驱动的一维喷墨换能器内部流动的实验和理论分析表明喷墨微通道内的流动由带有黏性效应的声学方程控制。Shield 等1987使用带有 Darcy–Weisbach 型黏性阻力的线性声学模型来模拟长玻璃管内的压力波传播和液滴形成发现与实验观测吻合良好。这种一维分析可以扩展以考虑与喷墨动力学相关的更复杂的物理效应例如模拟夹带气泡de Jong 等2006Jeurissen2009。更先进的声学运动模型基于线性化 Navier–Stokes 方程。Tijdeman1975研究了具有黏性和热导率的可压缩流动在恒定截面长管内的行为并提出了低折合频率模型。该模型假设沿域的压力梯度恒定并给出了依赖于谐波流动振荡的无量纲折合频率和雷诺数的解析解。低折合频率模型的解析解适用于特别简单的几何形状Moser1980也可以获得更一般几何形状的解Beltman1999a,b或进行数值求解Kampinga 等2010。Christensen2011比较了低折合频率模型的解和不同截面通道内完整 Navier–Stokes 方程的数值解证实了良好的一致性。另一种方法是边界层模型通过特殊的热黏性阻抗边界条件来近似边界层效应。Bossart 等2003提出了一种迭代边界元方法将计算域内部的等熵流动与靠近边界的域区域中的热波和黏性波解耦。黏性和热边界层中的解析解被转化为导纳边界条件。或者黏性和热耗散可以通过使用渐近边界层分析导出的 Wentzell 边界条件来考虑Berggren 等2018Rienstra 和 Hirschberg2013Schmidt 和 Thöns-Zueva2019Schmidt 等2014。序贯线性化 Navier–Stokes 模型SLNSKampinga 等2011使用低折合频率模型缓慢变化的压力梯度和边界层模型等熵波和热黏性波的解耦的技术导出。SLNS 模型适用于任意几何形状当域中狭窄部分的厚度与边界层厚度相当时。然而当边界层厚度与表面曲率半径同阶时这些模型的结果不再有效。虽然这些模型计算成本低且对初步设计有用但它们无法预测具有复杂几何形状的打印头微通道的性能。与降阶模型相比求解完整的线性化 Navier–Stokes 方程组在计算上要求更高所有未知量压力、温度和速度场都直接计算并且需要对边界层区域进行仔细的网格划分Joly2010。模拟与平均流相互作用的线性声波传播更具挑战性因为平均流场需要预先知道例如来自非线性可压缩 Navier–Stokes 方程的 DNS 解Kierkegaard 等2010。然而对于大多数应用来说这是不切实际的因为振荡流与平均流的相互作用按小马赫数的二阶缩放。求解热黏性声学问题的一种通用方法是使用有限元法Alnaes 等2015并选择合适的空间离散化Kampinga 等2010。在这种情况下提高数值解精度和构建细化网格的合理方法是使用目标导向的网格自适应Fraysse 等2012Rognes 和 Logg2013。喷墨微通道内声学流动的频域模型假设流动与喷嘴末端多相界面之间存在线性相互作用Khalate 等2011Wijshoff2010。非线性相互作用可以通过非定常模拟准确捕获Wassink2007。由于某种形式的能量范数通常是所关注的量例如声学流动与形成液滴的表面能之间的能量传递或液滴喷射周期后残余振荡的能量非定常热黏性方程的有限差分离散化Trefethen1996必须无数值耗散Thomas 和 Roe1993。二阶精度的 Crank–Nicolson 格式满足这一标准Apel 和 Flaig2012Thomas2013。## 喷嘴流动和液滴形成的建模理解射流不稳定性物理Eggers 和 Villermaux2008Rayleigh1879和液滴形成Driessen 和 Jeurissen2016是模拟喷墨按需滴落打印的第二个要素。为喷嘴和通道流动考虑单独的模型允许两个域分别考虑并且如果进行数值分析可以独立离散化Wijshoff2004。反过来这允许喷嘴中的分析集中于液滴形成。液滴的形成可以通过实验或数值方法研究。基于实验成像的技术从简单的液滴体积测量Furbank 和 Morris2004和弯月面运动观察Kwon2009到更先进的图像处理以确定液滴内的速度分布Snyder 等2019van der Bos 等2014不等。早期对液体射流中液滴形成Bogy1979和发射装置Badie 和 Dirk Frits1997Dijksman1984的研究表明这些现象取决于墨水黏度和表面张力以及向喷嘴中多相界面的质量和能量传递。短喷嘴中靠近自由表面的流动与打印头微通道的其余部分相比通常被建模为不可压缩和轴对称的Chen 和 Basaran2002Shield 等1987Wu 等2004由来自通道的压力Fumagalli 等2018或速度流入McIlroy 等2013Miers 和 Zhou2017驱动。已经提出了各种数值方法来模拟喷墨打印头中的自由表面发展、液滴形成和夹断。液滴形成的一维模型Adams 和 Roy1986Eggers 和 Dupont1994Jiang 和 Tan2018和射流破碎Bogy1979已显示出与实验的良好一致性。Driessen 和 Jeurissen2011提出了一种特别有趣的方法对于固定的一维网格对表面张力进行小的修改可以正则化夹断和合并奇异性。Womersley1955分析了由周期性压力梯度驱动的轴对称不可压缩动脉流动并推导了速度分布作为振荡频率函数的解析解Womersley 速度分布。Brereton 和 Jiang2005将这一思想进一步推进提出了在沿管压力梯度恒定假设下非定常层流管流的精确解。他们提供了各种关注量作为时间函数的解析关系。例如可以计算流量作为时变压力梯度的函数局部速度进而动能作为流量的函数反之亦然。最后Wassink2007扩展了这种方法来研究液滴引发和液滴尾部变细过程。所提出的双端口建模方法假设横截面缓慢变化的喷嘴内流动为 Poiseuille 速度分布并将自由表面处的流量与自由表面变形耦合。这产生了一种快速、准确且经过实验验证的数值技术来模拟墨水通道动力学。显式界面跟踪方法流体体积法Hirt 和 Nichols1981Wu 等2004Yang 等2005和水平集方法Galusinski 和 Vigneaux2008aMiers 和 Zhou2017已成功应用于计算自由表面边界的位置和液滴形成。在上述论文中假设喷嘴始终充满流体。这一假设可以放宽液-固-气三相交线Snoeijer 和 Andreotti2013的动力学可以使用变分方法Fumagalli 等2018Manservisi 和 Scardovelli2009模拟。总体而言液滴形成建模工具的开发和验证是一项非平凡的任务此类模拟计算成本高昂并且通常需要在优化背景下进行特殊改进Hinze2000。如果从液滴已经形成后自由表面松弛的角度研究喷嘴流动则可以使用降阶模型控制体积法Wassink2007或集总元件建模He 等2015Shah 等2019如果其他自由表面建模工具不可用的话。## 1.2 优化### 1.2.1 按需滴落喷墨系统的优化喷墨打印的主要优化目标是一致性的液滴速度和体积Gan 等2009以及提高喷射频率Miers 和 Zhou2017。可以改变三组喷墨系统参数以改善喷墨性能墨水类型或组成、喷墨打印头微通道的形状以及致动波形的形状。实验研究Chen 和 Basaran2002Jo 等2009和计算分析Xu 和 Basaran2007表明液滴形成状态和液滴特性由无量纲特征数决定韦伯数流体惯性力与表面张力之比和 Ohnesorge 数黏性力相对于表面张力的重要性。喷射行为可以通过改变流体组成Liu 和 Derby2019或添加少量聚合物Hoath 等2015Shore 和 Harrison2005来被动优化。#### 形状优化改变打印头微通道的形状是另一种被动改善喷墨系统性能的有前景的方法Kungurtsev 和 Juniper2019。Kim 等2018分析了喷嘴直径和长度以及声学通道长度对最大喷射频率的影响。减小喷嘴直径允许以兆赫频率喷射和更小的液滴尺寸Miers 和 Zhou2017。然而尚未有系统的方法来估计喷墨性能指标对一般形状参数的敏感性。#### 波形优化打印过程的主动控制是通过向驱动墨滴形成的压电元件施加精细调整的致动波形Gan 等2009并阻尼残余振荡和串扰效应Khalate 等20112012来实现的。波形优化不需要任何硬件更改并且经常应用于现有打印头例如当使用新墨水时。一种常见的方法是调整固定形状波形的脉冲幅度和持续时间Shin 等2011。最基本的波形是单极性梯形推入波形。Bogy 和 Talke1984得出结论最佳脉冲宽度为 $L / c_s$即与喷射装置长度 $L_c$ 成正比与声速 $c_s$ 成反比对于标准喷墨微通道Dijksman2019长度 $L_c$ 是墨水供应歧管与喷嘴之间的距离对于通流Strevens 等2020喷墨是流入边界到流出边界的距离见图 1.2。这种波形有许多缺点喷射液滴的体积大残余回荡的幅度高并且除了主液滴外还会形成卫星液滴Kwon2009。双极性梯形推入然后梯形拉出波形用于消除卫星液滴Gan 等2009。与单极性和双极性波形相比W 形波形类型可以显著减小喷射液滴的体积Chen 和 Basaran2002并消除上一个喷射周期的残余声波Gan 等2009。然而由复杂波形形成的液滴对波形形状的变化更敏感。这意味着随着波形类型变得更复杂最佳波形变得更难找到。鉴于波形通常是在大量实验中通过试错法找到的随着波形变得更复杂这导致相当大的实验成本并推动了本论文中更系统的方法。系统化的波形优化可以通过几种方式实现。前馈控制方法Khalate 等2011可用于通过平坦化弯月面速度对脉冲频率的响应来消除残余回荡。如果数值模型不够准确或者计算成本太高而无法预测液滴特性则可以通过将自动化实验装置与优化算法相结合使用无模型方法探索波形参数空间Ezzeldin 等2010。波形形状是实验输入液滴特性是实验输出。这种方法已与遗传算法Snyder 等2019和基于群智能的技术He 等2015一起使用。或者Gunzburger 和 Manservisi2000、Hinze2000开发了一种高效的基于伴随的瞬时控制方法应用于非定常不可压缩流动并由 Fumagalli 等2018扩展到喷墨喷嘴内的自由表面问题。本研究以及 Kungurtsev 和 Juniper2020中开发的方法类似它考虑了一种通过基于伴随的优化来进行波形优化的系统方法但包括了通道中的声学以及喷嘴中的流动。### 1.2.2 基于伴随的敏感性分析数学物理中的许多问题可以表述如下找到复杂系统的最优输入 $\mathbf{f}$使某个目标值 $\mathcal{I}$ 最小化或最大化。系统状态 $\mathbf{q}$标量或数字或函数的向量通常明确定义目标值目标是状态的函数 $\mathcal{I} \mathcal{I}(\mathbf{q})$。给定系统状态评估目标是廉价的。存在一个矩阵或微分算子 $\mathcal{A}$将输入 $\mathbf{f}$ 与状态 $\mathbf{q}$ 关联起来。计算系统状态通常是计算成本很高的。基于梯度的优化算法用于找到目标函数相对于输入参数的局部最小值。当控制参数的数量大大超过目标函数的数量时通常如此基于伴随的优化比非基于梯度或切线线性基于梯度的方法快得多。如果使用有限差分方法直接计算梯度向量则需要 $N1$ 次昂贵的原始状态评估其中 $N$ 是输入参数的数量。伴随方法在一次计算中提供目标函数相对于所有控制参数的梯度Cossu2014Luchini 和 Bottaro2014Schmid 和 Brandt2014。这只需要一次昂贵的原始状态评估和 $M$ 次廉价的线性伴随计算其中 $M$ 是目标函数的数量。然后该梯度在基于梯度的优化算法中使用以收敛到局部最优并大大加速优化。它已被用于空气动力学优化Nadarajah 和 Jameson2000、热声学中的触发Juniper2011、流体动力稳定性Brewster 和 Juniper2020以及寻找转捩到湍流的最小种子Kerswell2018。Kast2016讨论了伴随方法在误差估计和网格自适应中的应用。伴随算子、对偶性和底层泛函分析的全面介绍在 Estep2004中给出。这里我们简要讨论伴随方法的主要思想和美妙之处。我们首先考虑一个线性算子 $\mathcal{A}$ 和一个线性目标函数 $\mathcal{I}$。在这种情况下优化问题是$$\begin{array}{c}{\mathrm{Minimize} \mathcal{I} \equiv (\mathbf{v}, \mathbf{q})}\\ {\mathrm{subject to} \mathcal{A} \mathbf{q} \mathbf{f},} \end{array} \quad (1.1)$$其中 $(\cdot , \cdot)$ 是适当定义的标量积$(\mathbf{v}, \cdot)$ 是线性目标函数算子。状态方程残差 $\mathbf{r} \equiv \mathcal{A} \mathbf{q} - \mathbf{f} 0$ 与任意函数向量$\lambda$ 的标量积始终为零$$(\lambda , \mathbf{r}) (\lambda , \mathcal{A} \mathbf{q} - \mathbf{f}) \equiv 0.$$让我们定义伴随算子 $\mathcal{A}^{\dagger}$$$(u, \mathcal{A} v) \left(\mathcal{A}^{\dagger} u, v\right) \quad \forall u, v. \quad (1.2)$$残差标量积变为$$(\lambda , \mathcal{A} \mathbf{q}) - (\lambda , \mathbf{f}) \left(\mathcal{A}^{\dagger} \lambda , \mathbf{q}\right) - (\lambda , \mathbf{f}) 0.$$由于上述表达式对所有 $\lambda$ 都成立我们可以选择此变量以满足以下方程$$\mathcal{A}^{\dagger} \lambda \mathbf{v}, \quad (1.3)$$因此之前隐式依赖于输入参数 $\mathbf{f}$ 的目标函数可以重写为显式表达式 $\mathcal{I} (\mathbf{v}, \mathbf{q}) \left(\mathcal{A}^{\dagger} \lambda , \mathbf{q}\right) (\lambda , \mathbf{f})$。伴随状态变量 $\lambda$ 表示目标函数 $\mathcal{I}$ 相对于输入参数 $\mathbf{f}$ 的敏感性。在这个线性情况下只需要计算一次伴随方程1.3即可获得目标值而1.1中的状态方程从未使用。线性情况可以推广到非线性微分算子这在 CFD 中经常出现。设 $\mathcal{A}$ 为非线性微分算子使得 $\mathcal{A}\mathbf{q} \mathbf{f}$ 是非线性状态方程。目标函数也是 $\mathbf{q}$ 的非线性函数。我们可以在基态 $(\mathbf{f}_0,\mathbf{q}_0)$ 附近线性化状态方程和目标函数给定状态 $\delta \mathbf{q}$ 的任意容许变分$$\begin{array}{c}{\delta \mathcal{J}\left[\delta \mathbf{q}\right] \left(\mathcal{J}_{\mathbf{q}}^{\prime}\left(\mathbf{q}_{0}\right),\delta \mathbf{q}\right),}\\ {\mathcal{A}^{\prime}\left(\mathbf{q}_{0}\right)\delta \mathbf{q} - \delta \mathbf{f} 0.} \end{array} \quad (1.4)$$目标函数的变分 $\delta \mathcal{J}\left[\delta \mathbf{q}\right]$ 等于状态变分 $\delta \mathbf{q}$ 与目标函数对状态变分的敏感性 $\mathcal{J}_{\mathbf{q}}^{\prime}$ 的标量积。与前一种情况一样这是一个线性形式目标函数的导数可以使用伴随方法计算给定基态 $\mathbf{q}_0$可以定义线性伴随算子 $\mathcal{A}^{\dagger}$。通过求解伴随状态方程并找到 $\lambda$目标函数相对于输入参数变分 $\delta \mathbf{f}$ 的敏感性立即可得。$$\begin{array}{c}{\mathcal{A}\mathbf{q}_0 \mathbf{f}_0,}\\ {\mathcal{A}^{\dagger}:\quad (u,\mathcal{A}^{\prime}(\mathbf{q}_0)v) \left(\mathcal{A}^{\dagger}u,v\right),}\\ {\mathcal{A}^{\dagger}\lambda \mathcal{J}_{\mathbf{q}}^{\prime}(\mathbf{q}_0),}\\ {\delta \mathcal{J} (\lambda ,\delta \mathbf{f}).} \end{array} \quad (1.5)$$伴随方法不仅可以用于计算目标对显式输入参数如外部强迫、初始或边界条件、材料属性的空间分布的敏感性还可以用于计算对物理域形状的敏感性。结合基于梯度的优化算法基于伴随的形状敏感性分析是一种强大的工具已应用于翼型设计Jameson 和 Martinelli2000、流体混合Eggl 和 Schmid2020、流体动力不稳定性Brewster 和 Juniper2020和热声稳定性Aguilar 和 Juniper2020。## 1.3 论文范围和结构本论文的范围是(i) 开发准确且计算高效的喷墨打印头微通道流动模型并实现一个高级编程接口自动化此类问题的求解(ii) 定义按需滴落喷墨系统的优化目标和控制参数(iii) 开发一种可解释的最优控制方法并将其应用于喷墨流动。第 2 章讨论喷墨流动模型。我们将喷墨打印头微通道分为通道域和喷嘴域每个域有不同的控制方程。对于通道域我们使用低马赫数渐近分析将可压缩 Navier–Stokes 方程分离为无声振荡的不可压缩流动方程和无平均流动的声振荡方程。我们推导了非定常和频域振荡热黏性声学流动的弱形式并使用有限元法对问题进行数值离散化和求解。对于喷嘴域我们使用质量和能量守恒方程构建轴对称自由表面流动的降阶模型。我们开发了一种通用方法通过通道和喷嘴之间表面上的边界条件将通道与喷嘴耦合。最后我们研究了耦合通道-喷嘴喷墨系统的频谱和频率响应。第 3 章和第 4 章包含主要结果和原创贡献。第 3 章包含基于伴随的敏感性分析对施加在致动器边界上的外部强迫的推导。我们定义代价函数为通道内声能与喷嘴末端墨液球冠表面能之和。我们使用基于梯度的优化算法来找到使代价函数在不同终止时间以及几何结构逐渐复杂情况下最小化的最优边界条件。我们讨论了消除液滴喷射后残余振荡的最优波形形状的物理解释。第 4 章包含第 2 章中系统对通道形状修改的基于伴随的敏感性分析的推导。我们获得了两个目标函数的梯度表达式稳态流动的黏性耗散和振荡对边界变形的耗散以 Hadamard 形式表示。我们将这些与基于梯度的优化算法相结合该算法快速收敛到一个设计其稳态流动的黏性耗散相同但振荡流动的衰减率增大了 50%。我们证明该设计接近最优。第 5 章包含论文结果总结和未来工作建议。