维度L1 归一化L2 归一化公式x^x∣x∣1x∑i∣xi∣\hat{x}\dfrac{x}{|x|_1}\dfrac{x}{\sum_i |x_i|}x^∣x∣1x∑i∣xi∣xx^x∣x∣2x∑ixi2\hat{x}\dfrac{x}{|x|_2}\dfrac{x}{\sqrt{\sum_i x_i^2}}x^∣x∣2x∑ixi2x归一化后约束∑i∣x^i∣1\sum_i |\hat{x}_i|1∑i∣x^i∣1∣x^∣21|\hat{x}|_21∣x^∣21几何含义把向量缩放到 L1 单位球上把向量缩放到单位超球面上对大元素敏感度相对更鲁棒异常值不会被平方放大对大元素更敏感因为平方会放大与稀疏性关系归一化本身不会把元素变成 0只是让绝对值之和为 1归一化本身不会把元素变成 0只是让欧氏长度为 1常见场景概率化表示、稀疏特征、词频/直方图归一特征向量单位化、余弦相似度、检索/匹配在深度学习/检索里的典型用法在特征匹配、图像检索、向量相似度搜索里L2 归一化更常见。因为对两个 L2 归一化后的向量做点积就等价于余弦相似度所以很多 pipeline 会先对特征向量做 L2 归一化再用内积或余弦相似度做匹配。L1 归一化则更常用于需要“概率化/占比化”的场景比如把直方图、词频向量归一成总和为 1 的形式。方法正则化项效果L1 正则化λ∑iwi\lambda \sum_i w_iλ∑iwi倾向产生稀疏解部分权重被压到 0可做特征选择L2 正则化λ∑iwi2\lambda \sum_i w_i^2λ∑iwi2让权重整体变小但通常不为 0模型更平滑稳定L1/L2 正则化是对模型参数加约束用来防止过拟合而前面说的 L1/L2 归一化是对特征向量做缩放用来统一尺度或做相似度计算。两者虽然都叫 L1/L2但作用对象完全不同。为什么能防过拟合?模型过拟合时往往会依赖某些特别大的权重去“死记”训练样本。正则化通过在损失函数里加入惩罚项迫使模型在“拟合训练数据”和“保持参数较小”之间做平衡。L1绝对值惩罚对大权重和小权重都是线性惩罚容易把不重要的权重直接压到 0从而筛掉冗余特征。L2平方惩罚对大权重惩罚更重所以它会把所有权重一起压小但通常不会精确变成 0。几何直观如果把原始损失函数的等高线画出来再叠上正则化约束区域L1 约束区域是菱形等高线更容易在菱形顶点处相切而顶点往往落在坐标轴上所以某些权重会变成 0。L2 约束区域是圆形等高线通常在圆边上相切权重会整体缩小但不太会精确落在坐标轴上。贝叶斯视角L1 正则化等价于假设参数服从拉普拉斯先验L2 正则化等价于假设参数服从高斯先验。这也解释了为什么 L1 更偏向稀疏而 L2 更偏向平滑。在深度学习中的使用在深度神经网络里L2 正则化更常见也常被称为权重衰减。因为深层网络通常希望保留全部特征表示只是限制参数幅度避免某些权重过大导致不稳定。L1 正则化在浅层模型、高维稀疏特征、需要自动特征选择的场景里更有用比如文本分类、基因数据分析等。