矩阵的共轭转置这个操作闭着眼睛都会写先转置再逐个取共轭。可真到了希尔伯特空间里伴随算子这四个字第一次出现在讲义上的时候我盯着定义看了半小时也没找到那种闭着眼睛的踏实感——因为摆在我面前的叙述里没有矩阵没有坐标只有一个内积和一句由 Riesz 表示定理可知存在唯一的算子。这篇笔记就是想把我自己从照着定义抄到能自己推一遍、能动手算例子的过程完整记下来。内容主要围绕三件事伴随算子为什么必须这样定义而不是照搬矩阵的转置共轭它有哪些性质是必须凭肌肉记忆记住、哪些是能现场推出来的以及几类典型算子移位算子、乘法算子、积分算子的伴随到底长什么样。适合已经学过希尔伯特空间基本概念、正在啃泛函分析后半段的人也适合做信号处理、数值优化、量子理论相关方向、需要用伴随这个词但一直没搞清它到底在说什么的读者。下面所有推导我都写了完整中间步骤能抄作业的地方我直接给结论需要小心的地方我会明确标出来。1. 为什么无穷维里共轭转置这四个字不够用1.1 有限维那套做法隐含了一个被忽略的前提在 $\mathbb{C}^n$ 上如果 $A$ 是矩阵标准内积是 $\langle x, y\rangle \sum_i x_i \overline{y_i}$那么$$\langle Ax, y\rangle \sum_i (Ax)i \overline{y_i} \sum_i \sum_j a{ij} x_j \overline{y_i} \sum_j x_j \overline{\sum_i \overline{a_{ij}} y_i}$$右边那个 $\sum_i \overline{a_{ij}} y_i$ 恰好就是 $A^H y$ 的第 $j$ 个分量。所以我们得到 $\langle Ax, y\rangle \langle x, A^H y\rangle$$A^H$ 就是共轭转置。这段推导里藏着两个平时不会注意的前提。第一它严重依赖标准内积这个具体形式。如果内积换成加权的 $\langle x, y\rangle_w \sum_n w_n x_n \overline{y_n}$$w_n 0$同一个矩阵 $A$ 的伴随就不再是 $A^H$ 了而是 $W^{-1}A^H W$其中 $W \mathrm{diag}(w)$。我验算过一遍需要 $x^{\mathsf T} A^{\mathsf T} W \bar y x^{\mathsf T} W \overline{A^* y}$也就是 $W\overline{A^} A^{\mathsf T}W$取共轭后得 $A^ W^{-1}A^H W$。这个结论我第一次看到时挺震惊的——伴随不是一个算子自带的属性它是算子和内积共同决定的。第二个前提更隐蔽我们用了坐标。一旦进了无穷维第 $i$ 行第 $j$ 列这种写法虽然形式上还能写无穷矩阵但它立刻带来收敛性问题$\sum_i \overline{a_{ij}}y_i$ 收不收敛就算收敛这个矩阵能不能定义一个连续算子所以正规的处理方式是彻底扔掉坐标只保留那句核心等式 $\langle Tx, y\rangle \langle x, T^*y\rangle$反过来把它当作定义。这就把问题从怎么算变成了凭什么存在。1.2 Riesz 表示定理才是真正的地基要回答凭什么存在绕不开 Riesz 表示定理。它的表述很干净设 $H$ 是希尔伯特空间$f: H \to \mathbb{C}$ 是有界线性泛函那么存在唯一的 $y_f \in H$使得对一切 $x \in H$ 有 $f(x) \langle x, y_f\rangle$并且 $|f| |y_f|$。这个定理的分量只有在对比了巴拿赫空间之后才能体会。在一般的巴拿赫空间里对偶空间 $X^$ 里的元素完全可以长得不像 $X$ 里的元素——最典型的例子是 $c_0$ 的对偶是 $\ell^1$$\ell^1$ 的对偶是 $\ell^\infty$每一层都换了个样。而希尔伯特空间的对偶空间 $H^$ 和 $H$ 本身在集合层面是一一对应的而且这个对应还是等距的。唯一的代价是它不保持线性结构$f \mapsto y_f$ 是共轭线性的因为 $\langle x, \alpha y\rangle \bar\alpha \langle x, y\rangle$。这一点在后面解释$( \alpha T)^* \bar\alpha T^*$的时候会原封不动地冒出来。打个不太严谨但很好用的比方有界线性泛函就是一把尺子它量的是向量在某个方向上的投影长度。Riesz 定理说的是在希尔伯特空间里每一把尺子背后都站着一个向量你能把测量这件事还原成跟某个向量做内积。在一般巴拿赫空间里有些尺子背后是站不出向量的。1.3 把 $T^*$ 的存在性一步步抠出来有了 Riesz 定理伴随算子就是一道标准流程题。设 $T \in \mathcal{B}(H_1, H_2)$约定内积对第一个变量线性、第二个变量共轭线性。固定 $y \in H_2$定义 $f_y(x) \langle Tx, y\rangle$。先验证它是有界线性泛函线性来自内积对第一个变量的线性性有界性由$$|f_y(x)| |\langle Tx, y\rangle| \le |Tx|,|y| \le |T|,|x|,|y|$$得到而且顺手拿到 $|f_y| \le |T|,|y|$。既然是 $H_1$ 上的有界线性泛函Riesz 定理给出唯一的 $z \in H_1$ 满足 $\langle Tx, y\rangle \langle x, z\rangle$。定义 $T^*y : z$这就是伴随算子。存在性这一步很轻实际上唯一性才是让 $T^$ 成为算子而不是多值对应的关键$y$ 定了$z$ 就被 Riesz 定理的唯一两个字钉死了。至于 $T^$ 的线性性验证一下对 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ 和 $y_1, y_2$$$\langle x, T^*(\alpha y_1 \beta y_2)\rangle \langle Tx, \alpha y_1 \beta y_2\rangle \bar\alpha\langle Tx,y_1\rangle \bar\beta\langle Tx,y_2\rangle \langle x, \alpha T^*y_1 \beta T^*y_2\rangle$$因为这对一切 $x$ 成立所以 $T^*(\alpha y_1 \beta y_2) \alpha T^y_1 \beta T^y_2$。**注意这里 $T^$ 本身是线性的不是共轭线性的*——共轭性是被内积吸收掉的出来的时候又变成正常的系数这一点很多人第一次会搞混。最后补一句有界性由 $|T^y| |z| |f_y| \le |T||y|$ 得 $|T^| \le |T|$。反向不等式在下一篇性质里解决因为要用到 $T^{**} T$。提示上面的定义方式对应 $\langle Tx, y\rangle \langle x, T^*y\rangle$。也有书采用 $\langle T^x, y\rangle \langle x, Ty\rangle$两种约定下的 $T^$ 其实是同一个算子的两种叫法但中途换约定会让所有推导都翻车。选定一种从头用到尾。2. 三条最容易记错的性质以及它们背后的道理2.1 数乘的共轭为什么必须出现第一条$(\alpha T)^* \bar\alpha T^*$。推导只有两行$$\langle (\alpha T)x, y\rangle \alpha\langle Tx, y\rangle \alpha\langle x, T^*y\rangle \langle x, \bar\alpha T^*y\rangle$$问题完整地出在最后一步内积对第二个变量是共轭线性的所以 $\alpha$ 从内积外面搬进去时要变成 $\bar\alpha$。这不是技巧是结构决定的跟复数矩阵转置时每个元素都要取共轭是同一件事。这条性质带来一个不太被强调、但很好用的推论映射 $T \mapsto T^*$ 不是线性映射而是共轭线性的。它不是复线性算子只能说它是实线性的。由此立刻可以推出自伴算子全体构成一个实向量空间而不是复向量空间。因为如果 $T$ 自伴、$\alpha$ 是复数那么 $(\alpha T)^* \bar\alpha T^* \bar\alpha T$只有 $\alpha$ 是实数时才等于 $\alpha T$。反过来$iT$ 的伴随是 $-iT^* -iT$也就是 $iT$ 是反自伴的。量子力学里把可观测量对应到自伴算子、把生成元对应到反自伴算子这个实数虚数的分野就来自这里。顺便说这也是自伴算子谱是实的这个结论的代数线索自伴算子的谱不能跑到复平面上去因为从上面的计算能看出自伴性本质上是一个实数性条件。2.2 乘积的伴随必须颠倒顺序第二条$(TS)^* S^T^$。证明一行$\langle TSx, y\rangle \langle Sx, T^y\rangle \langle x, S^T^y\rangle$然后靠唯一性得到结论。这里要留意的不是证明而是定义域和值域的匹配要让 $TS$ 有意义需要 $S: H_1 \to H_2$、$T: H_2 \to H_3$于是在 $(TS)^ S^T^$ 里$S^$ 是 $H_2 \to H_1$$T^$ 是 $H_3 \to H_2$复合顺序 $S^T^$ 正好对。如果凭手感写成 $T^S^$维度都对不上更别说成立了。顺着这条能推出一串跟着变的结论$(T^n)^* (T^)^n$对多项式 $p(z) \sum_k c_k z^k$有 $p(T)^ \bar p(T^)$其中 $\bar p(z) \sum_k \bar c_k z^k$。这串式子在做谱映射定理的练习时会反复用到。另外 $(T^{-1})^ (T^)^{-1}$ 也成立前提是 $T$ 可逆因为 $T T^{-1} I$取伴随得 $(T^{-1})^T^ I$同理 $T^(T^{-1})^* I$所以 $T^$ 可逆且逆就是 $(T^{-1})^$。这条说明可逆性在伴随下是不变的。2.3 $T^{**} T$ 与范数恒等式链条第三条$T^{} T$。直觉上很自然伴随两次回到自己推的时候用一下伴随的定义就行$\langle T^*x, y\rangle \langle x, Ty\rangle$ 正是 $T^{}$ 的定义式配合 $|T^| \le |T|$ 就能倒推出 $|T^| |T|$。更有意思的是这条恒等式$$|T^*T| |T|^2$$上界方向$|T^Tx| \le |T^||Tx| \le |T|^2|x|$。下界方向需要动点手对 $|x| 1$$$|Tx|^2 \langle Tx, Tx\rangle \langle T^*Tx, x\rangle \le |T^*Tx|$$所以 $\sup_{|x|1}|Tx|^2 \le |T^*T|$也就是 $|T|^2 \le |T^*T|$。两边一夹就得到等号。这条恒等式看着像个小练习其实它在代数结构里是个大词它被叫做C*-恒等式是所有 C*-代数的定义性公理之一。它的一个直接推论是 $T^*T 0 \Rightarrow T 0$即从 $|T^*Tx| |x|$ 出发不行更简单地说$|Tx|^2 \langle T^*Tx, x\rangle$如果 $T^*T 0$ 则对一切 $x$ 有 $|Tx|^2 0$于是 $T 0$。这类看到 $|Tx|^2$ 就换成 $\langle T^*Tx, x\rangle$的手法在泛函分析里出现频率高得离谱建议直接背下来当工具使。性质表达式最容易踩的一点加法$(TS)^* T^S^$同一定义域值域无坑数乘$(\alpha T)^* \bar\alpha T^*$共轭不能丢$T\mapsto T^*$ 非复线性乘积$(TS)^* S^T^$顺序必须反双重$T^{**} T$约定要一致范数$|T^*| |T|$$|T^*T| |T|^2$下界方向要会推3. 三个必须亲手算一遍的例子3.1 $\ell^2$ 上的单侧移位算子定义 $(Sx)_1 0$$(Sx)n x{n-1}$$n \ge 2$也就是 $S(x_1, x_2, \dots) (0, x_1, x_2, \dots)$。它的伴随直接算$$\langle Sx, y\rangle \sum_{n1}^\infty (Sx)n\overline{y_n} \sum{n2}^\infty x_{n-1}\overline{y_n} \sum_{m1}^\infty x_m \overline{y_{m1}} \langle x, (y_2, y_3, \dots)\rangle$$所以 $S^*y (y_2, y_3, y_4, \dots)$就是砍掉第一位的后移算子。这个例子之所以是教科书常客是因为它把三个概念一次性拉出来对比$S^*S I$所以 $S$ 是等距$|Sx| |x|$这个等式是等距的等价刻画之一。$SS^* P$即把向量投影到 ${y_1 0} \mathrm{span}{e_1}^\perp$ 上的正交投影$SS^* \ne I$。因此 $S$ 不是酉算子$S$ 不可逆。$\ker S {0}$但 $\mathrm{ran}, S {x : x_1 0}$ 是真子空间而 $\ker S^* \mathrm{span}{e_1}$维度为 1。我在纸上核对了很久 $\ker S {0}$ 与 $S$ 不可逆这个组合因为有限维的惯性思维是单射 同维数 ⟹ 可逆。无穷维直接把这条掐断了单射离满射可以差着无穷远。$S^$ 的核是非平凡的这一位多出来的 $e_1$ 恰好就是 $\mathrm{ran},S$ 的正交补跟第 5 节的结论 $\ker T^ (\mathrm{ran},T)^\perp$ 完全对上。3.2 乘法算子伴随就是乘共轭函数在 $L^2(\Omega, \mu)$ 上取 $f \in L^\infty$定义 $(M_fx)(t) f(t)x(t)$。它的伴随推起来最舒服$$\langle M_fx, y\rangle \int_\Omega f(t)x(t)\overline{y(t)},\mathrm{d}\mu(t) \int_\Omega x(t)\overline{\bar f(t)y(t)},\mathrm{d}\mu(t) \langle x, M_{\bar f}y\rangle$$所以 $M_f^* M_{\bar f}$。由此立刻得到$M_f$ 自伴 $\iff$ $f$ 几乎处处实值$M_f$ 酉 $\iff$ $|f| 1$ 几乎处处这时 $M_{\bar f} M_f^{-1} M_{1/f}$而任取 $f$都有 $M_f^M_f M_{|f|^2} M_fM_f^$所以 $M_f$永远是正规算子。这一族例子最划算的地方是正规但非自伴的实例可以随手抓一个$f(t) t it$$M_f$ 正规但显然不自伴。它的范数是 $|M_f| |f|_\infty$谱是整个本质值域。我特别推荐拿 $L^2(0,1)$ 上 $f(t) t$ 来对照$M_f$ 自伴、正、范数为 1但没有任何特征值——因为 $(t - \lambda)x(t) 0$ 几乎处处意味着 $x 0$ 几乎处处。自伴不等于能对角化出一组特征向量这是从有限维过来最容易建立错误直觉的地方。3.3 积分算子伴随就是核函数的共轭转置设 $K$ 是 $L^2(\Omega)$ 上的积分算子$$(Kx)(s) \int_\Omega k(s, t)x(t),\mathrm{d}t$$$k \in L^2(\Omega \times \Omega)$ 时它就是 Hilbert–Schmidt 算子。算伴随$$\langle Kx, y\rangle \int_\Omega!!\int_\Omega k(s,t)x(t)\overline{y(s)},\mathrm{d}t,\mathrm{d}s \int_\Omega x(t)\overline{\int_\Omega \overline{k(s,t)}y(s),\mathrm{d}s},\mathrm{d}t$$所以 $(K^y)(t) \int_\Omega \overline{k(s,t)}y(s),\mathrm{d}s$写成标准形式就是**$K^$ 的核是 $k^*(t,s) \overline{k(s,t)}$**即交换两个变量再取共轭。这不就是把矩阵转置再逐元素取共轭吗$k(s,t)$ 可以看成无穷矩阵的第 $s$ 行第 $t$ 列元素转置是 $k(t,s)$共轭是取 $\overline{k(t,s)}$。坐标语言和抽象定义在这里完美对齐。于是自伴的判定变得很具体$K$ 自伴 $\iff k(s,t) \overline{k(t,s)}$ 几乎处处这类核叫埃尔米特核。举两个方向相反的例子Volterra 算子$k(s,t) \mathbf{1}{t \le s}$。转置共轭后核变成 $\mathbf{1}{s \le t}$明显不等于原来的所以 $V$ 不自伴。它的谱是 ${0}$拟幂零这个例子告诉我谱里只有一个点和算子是零完全是两码事。Green 函数在 $L^2(0,1)$ 上取 $k(s,t) \min(s,t)$它是 $-u$ 配齐 Dirichlet 边界条件的 Green 函数。因为 $\min(s,t) \min(t,s)$ 是实对称的所以 $K$ 自伴而且 $\langle Kx, x\rangle \ge 0$是正算子。这类例子在偏微分方程里到处冒看到对称核三个字基本就能判定自伴。4. 伴随把算子家族切成了哪几块4.1 自伴算子$T T^*$自伴是最像实数的一类。它的几条常用结论我列在下面也标上我的使用频率$\langle Tx, x\rangle$ 对一切 $x$ 都是实数。反过来在复希尔伯特空间上如果 $\langle Tx,x\rangle$ 恒为实数那么 $T$ 自伴。证明靠极化恒等式能用 $\langle T(xy), xy\rangle$ 这一类的组合把 $\langle Tx,y\rangle$ 还原出来从而得到 $\langle Tx,y\rangle \langle x,Ty\rangle$。$|T| \sup_{|x|1}|\langle Tx,x\rangle|$。这条在估计范数的时候特别省事因为二次型 $x \mapsto \langle Tx,x\rangle$ 比 $T$ 本身好算得多。谱是实数不同特征值对应的特征向量互相正交。正交性一行$\lambda\langle x,y\rangle \langle Tx, y\rangle \langle x, Ty\rangle \bar\mu\langle x, y\rangle \mu\langle x,y\rangle$$\lambda \ne \mu$ 逼出 $\langle x,y\rangle 0$。正算子$\langle Tx,x\rangle \ge 0$的谱落在 $[0, \infty)$并且 $T$ 有唯一的正平方根。注意$\langle Tx,x\rangle$ 恒为实数 $\Rightarrow$ 自伴这条只在复希尔伯特空间上成立。实空间上 $\langle Tx,x\rangle$ 是实数属于废话反例随手就有旋转 90 度那种一定不要把实空间和复空间的判定条件混着用。4.2 正规算子只要求 $T^T TT^$正规的条件比自伴弱得多但性质依然很好谱定理在它身上照样成立。它有一个很好用的等价刻画$$|Tx| |T^*x|,\quad \forall x \in H$$推导把两者平方作差得到 $\langle (T^T - TT^)x, x\rangle 0$。因为 $T^T - TT^$ 是自伴的二次型恒为零就蕴含算子为零于是回到 $T^T TT^$。这条等价刻画比原式好记得多也更常用。自伴、酉、反自伴全是正规的成员。$M_f$ 对任意 $f \in L^\infty$ 都正规就是一个把正规和自伴区分得干干净净的例子。4.3 酉算子与等距算子之间差的那一步酉算子的定义是 $U^U UU^ I$等价于 $U^* U^{-1}$也等价于保内积的满射。等距算子的定义只有 $V^*V I$也就是保内积。两者差在满射上而 $\ell^2$ 上的单侧移位算子就是这个差距的活样本。我还想补一个视角$VV^$ 总是 $\mathrm{ran},V$ 上的正交投影。因为 $VV^$ 自伴、幂等$(VV^)^2 V(V^V)V^ VV^$而且它的值域正好是 $\mathrm{ran},V$。这一步在后面讲子空间上的投影其实是一个算子的时候会反复出现也是量子测量里投影假设的算子版本。5. 伴随怎么把值域和核缝在一起5.1 $\ker T^* (\mathrm{ran},T)^\perp$三步走完这条是我认为整个伴随理论里最实用的结论。证明顺着定义走$$y \in \ker T^* \iff T^*y 0 \iff \langle x, T^*y\rangle 0\ \forall x \iff \langle Tx, y\rangle 0\ \forall x \iff y \perp \mathrm{ran},T$$两边取正交补并注意 $(\mathrm{ran},T)^\perp (\overline{\mathrm{ran},T})^\perp$就得到$$\overline{\mathrm{ran},T} (\ker T^*)^\perp$$这一条立刻给出几个可以当判定工具用的推论$\mathrm{ran},T$ 稠密 $\iff$ $T^$ 单射$\mathrm{ran},T$ 是闭的 $\iff$ $\mathrm{ran},T^$ 是闭的$T^*$ 有有界逆 $\iff$ 存在 $c 0$ 使 $|Tx| \ge c|x|$。最后这条在数值分析里叫下界条件或者强制性条件是判断反问题是否良态的第一道门槛。5.2 正交分解的算子版本值域闭的时候$\ker T^* \oplus \mathrm{ran},T H_2$ 是一个真正的正交分解。如果把它跟线性代数对照会发现它其实就是行空间与零空间正交直和的无穷维版本只不过行空间被换成了值域零空间被换成了伴随的核。还有一个有限维时叫秩-零化度定理的东西在希尔伯特空间里的对应物是当 $\mathrm{ran},T$ 闭时$\dim\ker T \dim\ker T^*$允许取值 $\infty$但要求两侧同为有限或同为无穷。这个结论是 Fredholm 二择一的一块铺垫石也是为什么紧算子加恒等的方程总能用有限维那套逻辑去处理。5.3 最小二乘正规方程不是拍脑袋来的设 $T \in \mathcal{B}(H_1, H_2)$$y \in H_2$要最小化 $|Tx - y|$。把范数平方展开成二次函数$$\varphi(x) |Tx|^2 - 2\mathrm{Re}\langle Tx, y\rangle |y|^2$$对 $x$ 求实导或者更正规地用 $x th$ 代入、对实参数 $t$ 求导再令 $t 0$能得到最优解必须满足$$\mathrm{Re}\langle Th, Tx - y\rangle 0,\quad \forall h$$配上复结构走过一遍等价于 $\langle Th, Tx - y\rangle 0$ 对一切 $h$ 成立也就是 $Tx - y \perp \mathrm{ran},T$由 5.1 的结论这又等价于 $T^*(Tx - y) 0$也就是$$T^*Tx T^*y$$这就是正规方程。它的几何含义比代数推导重要得多残差 $Tx - y$ 必须垂直于值域里的每一个元素换句话说 $Tx$ 就是 $y$ 在 $\mathrm{ran},T$ 上的正交投影。解的存在唯一性也有清清楚楚的条件$T^*T$ 永远自伴、正如果 $T$ 单射且值域闭那么 $T^*T$ 可逆最小二乘解唯一$x (T^*T)^{-1}T^*y$。这个 $T^*T$ 的可逆性判断等价于前面提到的下界条件 $|Tx| \ge c|x|$中间隔着 $|Tx|^2 \langle T^*Tx, x\rangle$。我强烈建议用这条链路反复走几遍走顺了你会发现反问题适定性最小二乘正规方程伴随四件事其实是同一件事的四个说法。6. 我踩过的几个坑以及怎么绕开6.1 符号约定的坑比想象中严重最要命的问题不是难而是两套约定混着用。数学教材大多采用内积对第一个变量线性物理教材大多采用对第二个变量线性两种约定下的伴随算子互为转置共轭形式同一个矩阵算出来是一样的但一旦涉及复系数、涉及无界算子公式里的共轭符号位置就完全对不上。约定基本等式$(\alpha T)^*$复合对第一个变量线性$\langle Tx,y\rangle \langle x,T^*y\rangle$$\bar\alpha T^*$$(TS)^* S^T^$对第二个变量线性$\langle Tx,y\rangle \langle T^*x,y\rangle$$\bar\alpha T^*$$(TS)^* S^T^$表面看两套的公式一样但把等式展开成积分、把内积代入具体表达式的时候就会差一个共轭位置。我的习惯是在笔记第一页写死一句话本笔记所有内积对第一个变量线性然后每道题都不许违反。看过五六本教材之后我确认混着看比只看一本慢得多。6.2 有界性不是废话无界算子那里立刻翻车前面一切推到固定 $y$$f_y$ 有界这一步都靠 $T$ 有界。一旦 $T$ 无界$f_y(x) \langle Tx, y\rangle$ 未必有界Riesz 定理就用不了了。这时候得改成$$\mathrm{Dom}(T^*) {y \in H_2 : x \mapsto \langle Tx, y\rangle \text{ 在 } \mathrm{Dom}(T) \text{ 上有界}}$$只有当 $T$ 稠密定义时$T^$ 才可能是良定义的。而且就算良定义$\mathrm{Dom}(T^)$ 也可能是 ${0}$这跟有界情形下处处有定义完全不同。由此还带出一个关键区分对称和自伴。对称的定义是 $\langle Tx, y\rangle \langle x, Ty\rangle$ 对一切 $x, y \in \mathrm{Dom}(T)$ 成立这只说明 $T \subseteq T^$定义域是包含关系而不是相等自伴要求 $T T^$也就是定义域必须一模一样而这通常体现为边界条件。经典例子在 $L^2(0,1)$ 上取 $T -i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$定义域是$$\mathrm{Dom}(T) {u \in H^1(0,1) : u(0) u(1) 0}$$这个 $T$ 是对称的但不自伴它的伴随定义域放宽到 ${u \in H^1(0,1) : u(0) u(1)}$。不同的自伴扩张对应不同的边界条件在物理里对应不同的模型。负 $i$ 乘导数这个形式本身不决定一切是定义域在决定一切这是我学这一章最大的收获。6.3 换内积等于换伴随所以自伴是有前提的最后回到 1.1 埋下的伏笔。既然伴随是用内积定义的那么换一个等价内积加权、加势、加正定算子同一个写在纸面上的公式对应的伴随就会变自伴性也会变。具体地若把 $\langle \cdot,\cdot\rangle$ 换成带正定权 $W$ 的内积那么 $A$ 在新内积下的伴随是 $W^{-1}A^HW$。这意味着很多看起来不正规的算子换到合适的内积下就是正规的甚至自伴的。反过来物理上有些算子的自伴性依赖特定的 Hilbert 空间结构脱离了这个内积去谈这个算子自伴不自伴问题本身就是不完整的。我自己的做法是以后看到自伴两个字先在心里补一句相对于某个内积。这个习惯养成之后再看那些关于加权最小二乘、预条件迭代的讨论会顺畅很多——因为那里出现的加权正规方程 $T^*WTx T^*Wy$本质上就是 5.3 的正规方程在权 $W$ 内积下的同一件事推导一个字都不用改只是把内积换掉而已。