矩阵运算写到第二篇很多同学已经进入“看视频全会、动手全废”的阶段了。上一篇我讲了矩阵的加法、数乘和乘法评论区有人问矩阵乘法为什么非要定义成“行乘列再求和”不能像实数乘法那样直接两个数相乘这个问题问得特别好等你理解了矩阵乘法背后是线性变换的复合就会觉得这套规则其实非常自然。而今天这篇笔记要处理的转置、逆矩阵、伴随矩阵和分块矩阵才是期末试卷上真正容易让人翻车的地方。这篇内容对标工程数学《线性代数》第七版第二章后半部分也结合了重庆邮电大学近几年期末考试的出题风格不管你是期末冲刺、考研复习还是工作后回来补线代基础的工程师都可以直接拿这篇当复习提纲用。先提醒一句矩阵运算这一章公式不难背难的是细节。很多错误不是因为不会而是因为混淆了顺序、忘掉了转置、或者没注意可逆的前提条件。我尽量把每个坑都指出来并且每个知识点都配一个可以直接动手验算的小例子建议你拿张纸跟着算一遍。1. 矩阵转置真正难的不是“行变列”1.1 转置的定义与对称矩阵转置的定义很简单把矩阵的行和列互换得到的矩阵记作 (A^T)。设[ A\begin{bmatrix}123\456\end{bmatrix} ]那转置就是[ A^T\begin{bmatrix}14\25\36\end{bmatrix} ]这里有个容易忽视的小知识点(A) 是 (2\times3) 的矩阵转置后变成 (3\times2)所以转置不改变矩阵的“信息量”但会改变矩阵的形状。如果你把矩阵看成一个表格转置就是行表头和列表头对调。数据本身没丢只是视角换了。转置还引出了两类重要的特殊矩阵。对称矩阵满足 (A^TA)它的样子就像沿着主对角线对折后完全重合比如 (\begin{bmatrix}12\23\end{bmatrix})。反对称矩阵满足 (A^T-A)这类矩阵有一个显著特征主对角线上的元素必须全为 0。原因很简单反对称要求每个主对角线元素满足 (a_{ii}-a_{ii})移项得 (2a_{ii}0)所以 (a_{ii}0)。这个特性在选择题里经常出现出题人喜欢给一个含参数的反对称矩阵让你求主对角线上的未知参数答案基本都是 0。1.2 转置的运算性质为什么 (AB)^T 要倒过来转置有四个基本性质[ (AB)^TA^TB^T,\quad (kA)^TkA^T,\quad (AB)^TB^TA^T,\quad (A^T)^TA ]前三个都好理解唯独 ((AB)^TB^TA^T) 这个“倒序”规则是很多人反复错的地方。我见过不少同学想当然地写成 ((AB)^TA^TB^T)用维度一检验就露馅了假设 (A) 是 (m\times n)、(B) 是 (n\times p)那么 (AB) 是 (m\times p)转置后是 (p\times m)。再看 (A^TB^T)(A^T) 是 (n\times m)(B^T) 是 (p\times n)两个矩阵相乘要求前者的列数等于后者的行数也就是 (mp)这在一般情况下根本不成立。而 (B^TA^T) 是 (p\times n) 乘 (n\times m)结果正好是 (p\times m)维度完美匹配。我当年学到这里的时候靠一个生活化的类比记住的穿袜子再穿鞋脱的时候必须先脱鞋再脱袜子“穿上”的倒序就是“脱下”的顺序。矩阵乘法类似先做 (A) 变换再做 (B) 变换转置回去相当于“脱”自然要反着来。为了验证这个规则你可以拿最简单的二阶矩阵试一下。设[ A\begin{bmatrix}12\34\end{bmatrix},\quad B\begin{bmatrix}01\10\end{bmatrix} ]先算 (AB\begin{bmatrix}21\43\end{bmatrix})转置得到 (\begin{bmatrix}24\13\end{bmatrix})。再算 (B^TA^T\begin{bmatrix}01\10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}13\24\end{bmatrix}\begin{bmatrix}24\13\end{bmatrix})两者完全一致。做一次这样的验算比背十遍公式都有用。1.3 转置在考点里的应用转置本身不难但它和行列式、乘法、逆矩阵组合起来就有很多文章可做。第一类常见考点是证明某个表达式是对称矩阵。比如要证明 (A^TA) 永远是对称矩阵做法是取转置[ (A^TA)^TA^T(A^T)^TA^TA ]这样一次变换就证完了。这个结论在后面学二次型、SVD奇异值分解时会反复出现现在打牢基础很值得。第二类考点是转置与行列式的结合。行列式有一个性质(|A^T||A|)就是转置不改变行列式的值。把这个性质和反对称矩阵结合会得到一个很常用的结论奇数阶的反对称矩阵行列式一定为 0。因为 (A^T-A)两边取行列式得 (|A^T||-A|(-1)^n|A|)而 (|A^T||A|)于是 (|A|(-1)^n|A|)。当 (n) 为奇数时只能是 (|A|0)。这类推导题在期末考试中很受欢迎因为它把两个看似不相关的知识点串在一起。2. 逆矩阵矩阵世界的“除法”2.1 为什么需要逆矩阵在实数范围内如果 (axb) 而且 (a\neq0)你会直接写 (xb/aa^{-1}b)。矩阵方程 (AXB) 也想做类似的操作但问题是矩阵没有除法运算于是需要找一个 (A^{-1})使得 (A^{-1}AAA^{-1}E)。一旦有了它方程两边左乘 (A^{-1})就得到 (XA^{-1}B)。注意是左乘不能右乘因为矩阵乘法不满足交换律。逆矩阵的实际应用非常广。解线性方程组是它最经典的用途计算机图形学里的仿射变换平移、旋转、缩放要还原回去也需要变换矩阵的逆电路分析中算阻抗矩阵、经济学里的投入产出模型统统离不开求逆。可以说逆矩阵是线性代数里“算得最多”的运算之一。2.2 可逆的条件与判断技巧一个矩阵什么时候有逆矩阵只用记住这三条等价条件矩阵必须是方阵非方阵没有逆矩阵可言行列式不等于 0即 (|A|\neq0)矩阵是满秩的即 (r(A)n)。其实“满秩”和“行列式非零”在方阵上是同一件事但考试里会换成各种各样的表述列向量组线性无关、齐次方程组 (Ax0) 只有零解、特征值没有 0 等等。这些条件和可逆是等价的选择填空题里经常互换着考。判断题里最典型的陷阱是如果一个矩阵行列式为 0你还去算它的逆或者在它身上用初等行变换强行化简最后得到一堆无意义的式子白白浪费时间。我的建议是拿到求逆的题目第一步永远先算 (|A|)。这道工序可能只花你半分钟但能避免之后十几分钟的无用功。2.3 三种求逆方法一个都不能少第一种伴随矩阵法。公式是[ A^{-1}\frac{A^*}{|A|} ]这个公式的完整计算流程我放在第 3 节详细展开因为这涉及伴随矩阵的构造很多人会在这里栽跟头。这里先用一个二阶矩阵演示一下整体思路。设[ A\begin{bmatrix}12\34\end{bmatrix} ]先算行列式 (|A|1\times4-2\times3-2)非零所以可逆。二阶矩阵的伴随矩阵有速记口诀“主对角线互换副对角线取负”于是[ A^*\begin{bmatrix}4-2\-31\end{bmatrix} ]代入公式得[ A^{-1}\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4-2\-31\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-21\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{bmatrix} ]你可以快速验证一下(A\times A^{-1}) 第一行第一列就是 (1\times(-2)2\times\frac{3}{2}-231)其余位置都是 0结果确实是单位阵。第二种初等行变换法。把 (A) 和单位矩阵 (E) 并排写在一起组成一个 (n\times2n) 的矩阵 ((A,|,E))然后只做初等行变换目标是让左边变成 (E)右边得到的就是 (A^{-1})。这个方法不需要记伴随矩阵的公式也不需要算行列式适用于任意可逆方阵所以更通用。看一个三阶例子[ A\begin{bmatrix}321\121\111\end{bmatrix} ]要求它的逆写出增广矩阵[ \left[\begin{array}{ccc|ccc} 321100\ 121010\ 111001 \end{array}\right] ]我的习惯是先把第一行第一个元素变成 1比如交换第一行和第三行然后依次消去下面第一列的元素接着处理第二列、第三列直到左边变成单位阵。这个过程操作量不小但每一步都有明确的路线不容易走偏。算到底得到[ A^{-1}\frac12\begin{bmatrix}1-10\02-2\-1-14\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.5-0.50\01-1\-0.5-0.52\end{bmatrix} ]我建议你亲自动手做一遍这个例子做完后用 (A\times A^{-1}) 验证一次能同时练到行变换和矩阵乘法。第三种分块对角矩阵求逆法。如果矩阵长成[ A\begin{bmatrix}A_1O\OA_2\end{bmatrix} ]其中 (A_1)、(A_2) 都是方阵且可逆那么[ A^{-1}\begin{bmatrix}A_1^{-1}O\OA_2^{-1}\end{bmatrix} ]也就是说分块对角矩阵的逆就是把每个对角块分别求逆后再放回原位。这个方法在计算机和工程计算里非常实用因为很多高维稀疏矩阵都是分块对角结构逐块求逆比整体求逆快好几个数量级。2.4 逆矩阵的运算律别栽在“倒序”上逆矩阵的运算律里最值得写进错题本的就是倒序规则[ (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1} ]验证也很直接[ (B^{-1}A^{-1})(AB)B^{-1}(A^{-1}A)BB^{-1}EBB^{-1}BE ]同样的道理((ABC)^{-1}C^{-1}B^{-1}A^{-1})有几个矩阵就倒几遍。此外还有几个常用公式((kA)^{-1}k^{-1}A^{-1})、(|A^{-1}|\frac{1}{|A|})、((A^T)^{-1}(A^{-1})^T)。最后一个公式的意思是求逆和转置可以交换顺序这在化简复杂表达式时特别有用。一个经常被误以为成立的公式是 ((AB)^{-1}A^{-1}B^{-1})这是完全不成立的。你可以随便用一个二阶矩阵试试比如 (AE)、(BE)左边是 ((2E)^{-1}\frac12E)右边是 (EE2E)差距一目了然。考试里遇到这种选项直接排除。3. 伴随矩阵逆矩阵背后的“影子工厂”3.1 伴随矩阵定义里最坑的一点记得转置伴随矩阵 (A^*) 的构造过程分两步。第一步把矩阵 (A) 的每一个元素 (a_{ij}) 换成它的代数余子式 (A_{ij})得到矩阵 ([A_{ij}])。这里的 (A_{ij}(-1)^{ij}M_{ij})(M_{ij}) 是去掉第 (i) 行第 (j) 列后剩余部分的行列式。第二步把这个矩阵转置得到的结果才是伴随矩阵。太多人在这里忘记第二步。以为把每个位置换成代数余子式就完事了结果求出来的逆矩阵差一个转置整个答案全是错的。我提供一个自检技巧如果你算出来的 (A^) 满足 (AA^|A|E)那你就没算错如果不满足优先怀疑是不是忘了转置。我以前面那个三阶矩阵为例[ A\begin{bmatrix}321\121\111\end{bmatrix} ]逐个求代数余子式注意符号 ((-1)^{ij}) 造成的“阴阳交替”规律。这个过程比较繁琐但很有练手价值。算出来(A_{11}1)(A_{12}0)(A_{13}-1)(A_{21}-1)(A_{22}2)(A_{23}-1)(A_{31}0)(A_{32}-2)(A_{33}4)如果你忘了转置直接按原位置排列得到的矩阵是 (\begin{bmatrix}10-1\-12-1\0-24\end{bmatrix})。但伴随矩阵必须取转置所以正确的 (A^*) 是[ A^*\begin{bmatrix}1-10\02-2\-1-14\end{bmatrix} ]这两个矩阵完全不同。用正确的 (A^) 算 (A^{-1}A^/|A|)因为 (|A|2)所以 (A^{-1}) 就是上面小节里那个结果。你可以对比一下如果用了没转置的矩阵乘回去绝对得不到单位阵。3.2 核心公式 AA* A*A |A|E伴随矩阵之所以有存在的价值核心在于一条公式[ AA^*A^*A|A|E ]这个公式的推导思路很有意思它其实用到了行列式按行列展开的性质当 (A) 的第 (i) 行与自己的代数余子式相乘求和时得到 (|A|)而当第 (i) 行与另一行 (j\neq i) 的代数余子式相乘求和时相当于把一个行列式的两行强行设成相同结果必为 0。所以对角位置全是 (|A|)非对角线位置全是 0整整齐齐得到 (|A|E)。这个公式也是 (A^{-1}A^*/|A|) 的由来两边同时除以 (|A|)就得到 (A^{-1}A(1/|A|)A^*AE)。很多教材把这条公式当作“矩阵求逆的万能钥匙”因为它同时兼容二阶、三阶乃至更高阶的矩阵。有了这条公式伴随矩阵还附带了很多可以“捡分”的小结论。比如 (|A^||A|^{n-1})这个公式在做选择题时能省很多时间。如果题目告诉你“(A) 是三阶矩阵且 (|A|2)求 (|A^|)”你根本不需要真的求伴随矩阵直接套 (|A^|2^{3-1}4) 就行。再比如 ((kA)^k^{n-1}A^)以及 ((A^)^*|A|^{n-2}A)这些都属于“看着冷门、考到就是送分”的公式平时花十分钟整理一下很划算。3.3 二阶伴随矩阵的速算口诀二阶矩阵是特殊情况它的伴随矩阵不需要一步步求代数余子式。[ A\begin{bmatrix}ab\cd\end{bmatrix},\quad A^*\begin{bmatrix}d-b\-ca\end{bmatrix} ]这个结果的记忆方式是“主对角线互换副对角线取负”。更准确地说主对角线元素 (a) 和 (d) 交换位置副对角线元素 (b)、(c) 则加上负号。因为这个口诀太好用了很多同学在求三阶甚至四阶伴随矩阵时也下意识地把所有元素“主换副负”这是绝对不行的——高阶矩阵必须老老实实求代数余子式再转置。那高阶矩阵求伴随有没有技巧有。我习惯先用“按行/列展开”求代数余子式每求一个就随手检查符号位置 ((i,j)) 的符号是 ((-1)^{ij})所以 ((1,1)) 是正、((1,2)) 是负、((2,1)) 是负、((2,2)) 是正呈现棋盘状交替。算完整套之后再用 (AA^*|A|E) 这个公式做最终验证。这个方法虽然会多花一点时间但能兜住绝大多数低级错误期末考场上值得。4. 分块矩阵运算大矩阵的“拆分”哲学4.1 为什么需要分块很多同学第一次看到分块矩阵会有这样的疑问好好一个矩阵为什么非要切几刀分块的本质是用粗粒度来看一个矩阵。当一个矩阵规模很大、又带有明显的零块或重复结构时整体计算非常吃力但切块后就能用小矩阵的规则来处理计算量大幅下降。可以类比整理一张巨大的 Excel 表你通常不会把整张表当成一个整体直接操作而是按部门、按月份切成若干区域分区域处理再汇总。分块矩阵就是把这个日常经验用到线性代数里。分块还有一个重要作用它本身就是一种证明工具。比如要证明“分块对角矩阵的行列式等于各分块行列式之积”只要把分块矩阵通过初等变换变成上三角形就能一步步推出来。考试中大题偶尔会要求用分块的方法解矩阵方程目的就是考查你能不能识别出矩阵内部的“小结构”。4.2 分块乘法的规则列分必须与行分一致分块矩阵的加减法很简单只要分块方式一致对应块相加就行。但分块乘法有一个硬性前提左矩阵的列分法必须和右矩阵的行分法一致。举个例子如果 (A) 按列分成两部分列数是 (n_1n_2)那么右乘它的矩阵 (B) 就必须按行分成上下两块行数也是 (n_1n_2)而且子块的维度要能对应上。也就是说切分方式不是随便定的它必须满足矩阵乘法本身对维度的要求。我见过不少同学在这上面翻车左矩阵按 2×2 分块右矩阵也按 2×2 分块但块和块之间乘起来时维度对不上最后算出来的结果完全是错的。所以使用分块乘法前我建议先在草稿纸上画出两条切分线标注每个子块的行数和列数检查一遍“左列 右行”之后再动笔。这个习惯看起来笨拙却能省去反复返工的时间。4.3 分块对角矩阵期末“送分题”高发区分块对角矩阵是指形如[ A\begin{bmatrix}A_1O\cdotsO\OA_2\cdotsO\\vdots\vdots\ddots\vdots\OO\cdotsA_k\end{bmatrix} ]的矩阵其中非对角线位置全是零块。这种矩阵太好处理了有一整套现成公式行列式(|A||A_1||A_2|\cdots|A_k|)逆矩阵(A^{-1}\begin{bmatrix}A_1^{-1}O\cdotsO\OA_2^{-1}\cdotsO\\vdots\vdots\ddots\vdots\OO\cdotsA_k^{-1}\end{bmatrix})幂(A^m\begin{bmatrix}A_1^mO\cdotsO\OA_2^m\cdotsO\\vdots\vdots\ddots\vdots\OO\cdotsA_k^m\end{bmatrix})其中 (A_1,A_2,\dots,A_k) 都必须是方阵且可逆。这里的逻辑很直白零块在乘法中相当于零元素所以各个对角块之间互不干扰独立运算。期末试卷上很爱出这类题。比如让你快速计算四阶矩阵[ A\begin{bmatrix} 1200\ 3400\ 0020\ 0005 \end{bmatrix} ]的行列式和逆矩阵。如果你傻乎乎地展开成四阶行列式运算量大且容易错。但用分块视角看它就是 (\mathrm{diag}\left(\begin{bmatrix}12\34\end{bmatrix}, [2], [5]\right))于是[ |A|\begin{vmatrix}12\34\end{vmatrix}\cdot2\cdot5(-2)\cdot2\cdot5-20 ]逆矩阵则三个块分别求逆再装回去[ A^{-1}\begin{bmatrix} -2100\ \frac32-\frac1200\ 00\frac120\ 000\frac15 \end{bmatrix} ]这就是分块技巧“肉眼可见的快”。如果你算的时候记得验证 (A\times A^{-1}E)基本稳拿满分。4.4 一般分块矩阵的求逆公式选学但建议记如果分块矩阵不是对角线形式而是上半三角分块比如[ A\begin{bmatrix}A_{11}A_{12}\OA_{22}\end{bmatrix} ]其中 (A_{11}) 和 (A_{22}) 可逆那么有现成公式[ A^{-1}\begin{bmatrix} A_{11}^{-1}-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\ OA_{22}^{-1} \end{bmatrix} ]这个公式是我当年复习时的“秘密武器”。推导思路其实不复杂设 (A^{-1}\begin{bmatrix}XY\ZW\end{bmatrix})利用 (AA^{-1}E) 展开后得到四个方程分别解出 (XA_{11}^{-1})、(WA_{22}^{-1})、(ZO)、(Y-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1})。你不需要记住每一步推导但建议记住最终形式特别是右上角那个负号非常容易被漏掉。考试里如果遇到上三角分块矩阵求逆用这个公式能比初等行变换快一半以上。5. 期末视角矩阵运算考点地图与复习建议5.1 一张表理清知识点、题型和易错指数矩阵运算这一章内容多且杂我用一个表格把高频考点和常见题型整理出来方便你对照复习知识点常见题型易错指数典型陷阱转置性质选择、判断中((AB)^T) 忘记倒序对称/反对称矩阵选择、填空中反对称主对角线未全零可逆条件判定选择、填空低混淆等价条件逆矩阵计算大题、计算高计算过程中符号出错伴随矩阵选择、填空高忘记转置分块矩阵运算选择、计算中分块方式不一致这张表也是我自己复习时的“错题分布图”。从易错指数能看出来伴随矩阵和逆矩阵计算是最容易失分的因为计算量大、细节密集通常也是期末大题的主角。转置和反对称则更常出现在选择填空里属于“会就白送、不会就干瞪眼”的题目。5.2 结合工程数学第七版的刷题路线如果你用的是工程数学《线性代数》第七版我建议按三段式推进。第一段课后概念题。教材每节后面的判断题和选择题不要跳过做这些题能帮你把“可逆的等价条件”“转置与逆的互换”这类概念盘活。第二段计算大题。每章后面求逆矩阵、解矩阵方程的题目至少独立做五道以上不要一边看答案一边做否则你永远不知道自己哪里会卡壳。第三段期末模拟卷。找一份目标院校近几年的真题比如重庆邮电大学的期末试卷按考试时间 120 分钟完整做一遍重点感受矩阵运算部分在卷面上的占比和出题习惯。从我看过的重邮期末试卷风格来看矩阵运算部分通常占 1520 分。选择填空喜欢考转置性质、可逆判断、伴随矩阵的行列式计算大题多半有一道“已知矩阵 (A)求 (A^{-1}) 或 (A^*)”偶尔会把分块矩阵和矩阵方程融合到一起。所以复习时不要只盯着难题偏题把常规计算做到又快又准分数就已经稳了一半。5.3 考场上的三个“秒杀”技巧第一个二阶矩阵求逆直接套公式不要绕弯子。二阶矩阵 (A\begin{bmatrix}ab\cd\end{bmatrix})如果 (|A|\neq0)那么[ A^{-1}\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}d-b\-ca\end{bmatrix} ]这个公式本质上就是伴随矩阵法在二阶情形的特例熟练后可以口算出结果。第二个遇到“已知 (|A|)求 (|A^{-1}|)”的别去真的求逆矩阵直接用 (|A^{-1}|\frac1{|A|})。同理求 (|A^|) 用 (|A^||A|^{n-1})。这些“小题大做”的机会在考试里浪费最可惜。第三个做完求逆计算后用 (A\times A^{-1}E) 随机抽查一列或一行。这不算“验算”而是“保命”。一道 10 分的大题里如果逆矩阵求错后面矩阵方程的答案全跟着错损失远超多花两分钟检查的代价。6. 常见问题与排查技巧实录6.1 行列式为零还继续求逆白忙一整场现象题目给了一个不可逆矩阵自己没先判断直接进入伴随矩阵法或初等行变换算了十几分钟最后发现行列式是 0根本不存在逆矩阵。对策把“先算 (|A|)”变成肌肉记忆。只要看到“求逆矩阵”四个字第一反应就是算行列式。行列式非零再继续行列式为零直接写“矩阵不可逆”然后做下一题。6.2 伴随矩阵忘了转置答案错得莫名其妙现象辛苦算完了一套代数余子式直接除以行列式得到 (A^{-1})结果验证时 (A\times A^{-1}) 不是单位阵。对策每次求完伴随矩阵先停下来问自己一句“我这个矩阵转置了吗”高阶矩阵尤其容易遗漏。再补一个验证动作算完 (A^{-1}) 之后取其中一行乘 (A^{-1}) 的某一列手算验证是否为 1 或 0。如果对不上优先检查伴随矩阵是否转置、代数余子式符号是否写错。6.3 (AB)^T 和 (AB)^{-1} 都忘记倒序现象解题时写 ((AB)^TA^TB^T) 或 ((AB)^{-1}A^{-1}B^{-1})最后结果和标准答案差得很远。对策用维度法快速检查。写完之后看一眼左右两边矩阵的形状(A) 是 (m\times n)、(B) 是 (n\times p) 时(A^TB^T) 的乘法要满足 (mp)这通常是错的(B^TA^T) 则刚好匹配。逆矩阵虽然不是用维度检查但可以从“穿了要先脱”的生活类比去回忆操作是 (AB)还原就要反过来先解 (B) 再解 (A)。6.4 分块矩阵乘法时块划分不一致现象自己给 (A) 分了块给 (B) 也分了块但 (A) 列分法和 (B) 行分法对不上导致块乘法无法进行。对策分块前先画线标出每个子块的行数和列数确保“左矩阵的列分组 右矩阵的行分组”。只要这一点满足分块乘法的正确率就基本有保障了。平时练习时养成画线标维度的习惯考场上才不会手忙脚乱。6.5 代数余子式的符号搞错现象计算伴随矩阵时((-1)^{ij}) 的正负号写反导致部分代数余子式符号错了最终逆矩阵错得“很隐蔽”。对策记住符号的棋盘规律——位置 ((1,1)) 为正然后横向纵向依次正负交替。算完一个代数余子式后可以顺手标出它应该是正是负再决定是否加负号。尤其是 ((2,1))、((1,2)) 这些“负号位”非常容易被忽略。如果你把上面这些坑都踩过一遍不用慌说明你对这一章已经有足够的“体感”了。我当年学到这里最大的教训就是矩阵运算的分数不是靠“看懂”拿到的而是靠“动手算”和“动手验证”拿到的。每次算完逆矩阵最快的检验方法就是乘回去看一眼是不是单位阵每次算完伴随矩阵就用 (AA^*|A|E) 自查一下。这两个习惯看着笨却让我在期末考试里少丢了至少一道大题的分数。后面我会继续写初等变换和矩阵的秩那些内容和今天的逆矩阵、分块矩阵联系非常紧密咱们下篇接着聊。