群在集合上的作用Group Action是抽象代数中最核心、最强大的工具之一。如果说群本身是对“对称性”的抽象描述那么群作用就是让这个抽象的群“动起来”去作用在一个具体的几何图形、代数结构或集合上从而研究该集合的内部结构与对称性质。前面讨论的凯莱定理群作用在自身上和二面体群二面体群作用在多边形顶点上本质上都是群作用的具体表现。1. 严格定义设(G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅)是一个群XXX是一个非空集合。一个左群作用是一个乘法运算∗*∗G×X→XG \times X \to XG×X→X满足以下两个条件单位元不动对任意x∈Xx \in Xx∈X有e⋅xxe \cdot x xe⋅xx其中eee是群GGG的单位元。结合律/复合兼容性对任意g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G及x∈Xx \in Xx∈X有g⋅(h⋅x)(gh)⋅xg \cdot (h \cdot x) (gh) \cdot xg⋅(h⋅x)(gh)⋅x观点转换映射视角给定一个群作用对每个固定的g∈Gg \in Gg∈G映射σg:X→X\sigma_g: X \to Xσg:X→X定义为σg(x)g⋅x\sigma_g(x) g \cdot xσg(x)g⋅x都是集合XXX上的一个双射置换。因此一个群作用等价于定义了一个群同态ϕ:G→Sym(X)\phi: G \to \text{Sym}(X)ϕ:G→Sym(X)这意味着群作用本质上就是把抽象群GGG表示为集合XXX上的置换群。2. 两个核心概念轨道与稳定子研究群作用时最核心的两个几何/代数对象是轨道Orbit和稳定子Stabilizer。(1) 轨道Orbit——“元素被变到了哪里”对于集合XXX中的一个点xxx在群GGG的作用下xxx能到达的所有位置构成的集合称为xxx的轨道记作Orb(x)\text{Orb}(x)Orb(x)或G⋅xG \cdot xG⋅xOrb(x){g⋅x∣g∈G}⊆X\text{Orb}(x) \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq XOrb(x){g⋅x∣g∈G}⊆X轨道等价关系群作用将集合XXX划分Partition为若干个互不相交的轨道的并集。(2) 稳定子Stabilizer——“哪些元素保持它不动”对于集合XXX中的一个点xxx所有让xxx保持原位不动的群元素构成的集合称为xxx的稳定子记作StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG(x)或GxG_xGxStabG(x){g∈G∣g⋅xx}⊆G\text{Stab}_G(x) \{ g \in G \mid g \cdot x x \} \subseteq GStabG(x){g∈G∣g⋅xx}⊆G重要性质对任意x∈Xx \in Xx∈X稳定子StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG(x)必为GGG的一个子群。3. 群作用三大基石定理(1) 轨道-稳定子定理Orbit-Stabilizer Theorem设有限群GGG作用在集合XXX上对任意x∈Xx \in Xx∈X轨道的元素个数与稳定子的指数陪集个数相等∣Orb(x)∣[G:StabG(x)]∣G∣∣StabG(x)∣\vert{}\text{Orb}(x)\vert{} [G : \text{Stab}_G(x)] \frac{\vert{}G\vert{}}{\vert{}\text{Stab}_G(x)\vert{}}∣Orb(x)∣[G:StabG(x)]∣StabG(x)∣∣G∣直观使得点xxx移动到同一个新位置的所有群元素刚好构成稳定子的一个左陪集。(2) 伯恩赛德引理Burnside’s Lemma轨道的总数量即不同“对称类”的数量等于群元素固定点个数的平均值轨道数1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\text{轨道数} \frac{1}{\vert{}G\vert{}} \sum_{g \in G} \vert{}X^g\vert{}轨道数∣G∣1g∈G∑∣Xg∣其中Xg{x∈X∣g⋅xx}X^g \{ x \in X \mid g \cdot x x \}Xg{x∈X∣g⋅xx}表示在群元素ggg作用下保持不动的点集。这个引理是 Polya 组合计数定理的基石。(3) 类方程Class Equation当群GGG通过共轭作用即g⋅xgxg−1g \cdot x g x g^{-1}g⋅xgxg−1作用在自身XGX GXG上时轨道定理给出了著名的类方程∣G∣∣Z(G)∣∑i[G:CG(xi)]\vert{}G\vert{} \vert{}Z(G)\vert{} \sum_{i} [G : C_G(x_i)]∣G∣∣Z(G)∣i∑[G:CG(xi)]其中Z(G)Z(G)Z(G)是群的中心CG(xi)C_G(x_i)CG(xi)是元素xix_ixi的中心化子即共轭作用下的稳定子。类方程是证明ppp-群性质如中心非平凡以及柯西定理、西洛定理Sylow Theorems的核心武器。4. 经典群作用示例群GGG作用集XXX作用方式g⋅xg \cdot xg⋅x轨道的含义/应用二面体群DnD_nDn正nnn边形的顶点{1,…,n}\{1, \dots, n\}{1,…,n}几何旋转与翻转自然的置换作用Orb(1)X\text{Orb}(1) XOrb(1)X传递作用任意群GGG自身XGX GXG左乘作用g⋅xgxg \cdot x gxg⋅xgx凯莱定理轨道只有一个稳定子为{e}\{e\}{e}任意群GGG自身XGX GXG共轭作用g⋅xgxg−1g \cdot x gxg^{-1}g⋅xgxg−1轨道为共轭类导出了类方程群GGG子群HHH的陪集集G/HG/HG/H陪集左乘g⋅(kH)(gk)Hg \cdot (kH) (gk)Hg⋅(kH)(gk)H证明米勒/凯莱推广定理构造有限商群