上周我把一套肿瘤生长模型的伴随灵敏度分析跑通顺手拿它做了个时空放射治疗剂量优化的演示结果好几个朋友看完第一反应都一样既然要算梯度直接对每个参数做扰动不就行了吗这个问题我也想过直到算了一笔账如果控制变量是四维时空里每个网格点的剂量率数量级至少是几十万到几百万有限差分要重复跑几十万次 PDE而伴随方法一次正演加一次伴随大约两倍正演成本就能回传全梯度。更妙的是这个结论和参数个数无关五十个参数和五十万个参数花的力气几乎一样。这篇文章会把这条技术路线完整拆开先解释为什么时空放疗优化需要灵敏度分析再讲我怎么选肿瘤生长模型然后一步步推出伴随方程最后给出一个能在 Matlab 里跑起来的实现框架。中间穿插我踩过的几个坑尤其是那种会让伴随梯度看起来对、实际上错得离谱的边界条件问题。代码不是完整工程但架子是能跑的读者拿到后可以直接往自己的模型上套。1. 放疗剂量怎么“长”到组织里从静态计划到时空优化的痛点1.1 传统计划优化为什么突然不香了调强放疗IMRT或者 VMAT 的计划优化本质上是在一个固定解剖图像上找最优的通量图。设计变量是束斑权重、机架角度这些顶多几百个用梯度类算法处理非常成熟。目标函数通常写成功效函数加剂量体积约束让肿瘤覆盖 95% 体积的处方剂量同时把脊髓、腮腺这些危及器官的最大剂量压下去。但问题是计划做完患者躺上台这一套剂量分布就固定了。实际治疗要持续好几周肿瘤在退缩正常组织在移动患者的体重和体型也在变。第三周的解剖和第一周已经不是同一个解剖固定剂量画在旧图像上自然不是最优的。现在临床上不少中心在做在线自适应放疗每治疗一次重新 CT 一次重新优化一次计划。每次重新优化都需要重新算梯度如果设计变量只有几百个还好可一旦动了真格——把剂量率也变成空间和时间上连续变化的场——变量数就远远不是几百个能打住的了。1.2 把时间维加进来设计变量瞬间爆炸时空放疗优化用大白话说就是让剂量率 (u(x,t)) 在空间的每个位置、治疗过程的每个时刻都能独立调节。你想在肿瘤侵袭前沿多加一点剂量在内脏敏感区附近减一点剂量而且这个决策还要跟着肿瘤生长的状态走。数学上这个模型挺漂亮工程上代价很高假如空间网格取 64×64治疗过程分成 40 个时间步控制变量就有 (64 \times 64 \times 40 \approx 16) 万个。如果考虑三维把 64 换成 32×32×32那就是三百万量级。在这种维度下你要算梯度首先想到的往往是有限差分。但有限差分需要对每个变量扰动一次、重新求解一次 PDE。一次正演算下来可能是几个 CPU 小时乘以十几万个变量这个优化就彻底没法玩了。伴随灵敏度分析就是冲着这个问题来的它可以一次拿到所有变量对应的梯度。1.3 有限差分简单但昂贵的穷人版灵敏度有限差分算梯度的公式很简单[ \frac{\partial J}{\partial u_i} \approx \frac{J(u\varepsilon e_i) - J(u)}{\varepsilon} ]实现零门槛而且每个分量可以并行跑。问题是维度一高就露馅另外扰动步长 (\varepsilon) 的选取也有讲究选大了有截断误差选小了被浮点噪声吞掉。我见过有人用复杂步长complex-step方法缓解精度问题但在 PDE 求解器里实现复杂步长等于把整个求解器重写一遍不划算。有限差分不是不能用它非常适合做梯度验证——后面我会用它来检查伴随梯度到底对不对。但做优化主体尤其是高维时空优化真的扛不住。1.4 伴随方法一场从出口逆流而上的追踪伴随方法的直觉可以用一条河来打比方。上游很多支流都在向河里排污你想知道哪条支流对入海口水质影响最大。常规思路是一条条支流轮流关停看入海口变化这是有限差分思路。伴随方法则是从入海口逆流而上测每一点对出口浓度的敏感性——只走一遍所有支流的影响都清楚了。在 PDE 框架里这个逆流而上就是求解一个伴随方程。它和时间上反向传播的敏感性信息绑在一起目标函数对每个控制变量的梯度全部由一次反向求解得到。后面我会把公式逐步展开现在先记住这个直觉伴随方法把控制变量个数这个乘数从算法复杂度里彻底消掉了。2. 我的模型选择反应扩散方程加线性二次杀伤项的数学画像2.1 为什么用反应扩散方程描述肿瘤生长我一开始也想偷懒搞个常微分方程比如 Logistic 增长[ \frac{dc}{dt} \rho c\left(1-\frac{c}{K}\right) ]但这个模型里没有空间没法回答哪个位置的剂量该调高、哪个位置该调低这种问题。时空优化必须要一个带空间结构的模型反应扩散方程是自然选择[ \frac{\partial c}{\partial t} D_c \nabla^2 c \rho c\left(1-\frac{c}{K}\right) ]第一项是扩散代表肿瘤细胞向周围组织的侵袭第二项是反应代表增殖但受到环境承载能力 (K) 的限制。这个方程有个很响亮的名字Fisher-Kolmogorov 方程它能产生行波解肿瘤边界会以有限速度向外扩张这在形态上很像实体瘤的生长过程。参数 (D_c) 是扩散系数(\rho) 是增殖率(K) 是环境容纳量。实际建模时这三个数可以通过影像或者实验数据标定。如果是脑瘤模型(D_c) 可能取 0.1–1 mm²/day(\rho) 取 0.1–0.5 /day(K) 则像是一个归一化上限把细胞密度压住。2.2 把放射治疗的杀伤效应写进方程放射生物学里最常用的细胞存活模型是线性二次模型LQ 模型单次剂量 (d) 对应的存活分数为[ SF(d) \exp\left(-\alpha d - \beta d^2\right) ]把这个效应放进 PDE不能直接用单次剂量因为我们是在连续时间上优化剂量率 (u(x,t))。对一小段时间切片来说细胞因辐射死亡的速率正比于 ((\alpha u \beta u^2)c)。于是肿瘤方程变成[ \frac{\partial c}{\partial t} D_c \nabla^2 c \rho c\left(1-\frac{c}{K}\right) - \left(\alpha_c u \beta_c u^2\right)c ]同时我还加了正常组织方程[ \frac{\partial n}{\partial t} D_n \nabla^2 n - \left(\alpha_n u \beta_n u^2\right)n ]正常组织初始密度归一化为 1没有增殖项辐射会把它的密度打下去。(\alpha_c, \beta_c) 是肿瘤的放射敏感性参数(\alpha_n, \beta_n) 是正常组织的参数。通常肿瘤的 (\alpha/\beta) 比较小正常组织偏高这里可以体现出分次剂量优化的空间。边界条件我最常用 Neumann 零通量[ \frac{\partial c}{\partial \nu} 0,\quad \frac{\partial n}{\partial \nu} 0 ]意思是细胞不会穿过计算区域边界跑出去。这个选择很关键因为伴随方程的边界条件必须和正演一致否则梯度会出问题后面我会专门讲这个坑。2.3 目标函数既能指导优化又适合求导优化目标很直白治疗结束后肿瘤细胞总数尽可能少正常组织损伤尽可能小剂量不能无限大。我采用平方和形式[ J(u) \omega_c \int_\Omega c(x,T)^2 dx \omega_n \int_\Omega \left(1 - n(x,T)\right)^2 dx \gamma \sum_k |u_k|^2 ]第三项是正则项防止优化器把剂量推到无穷大。平方项的选择是有原因的如果用一次方终端伴随变量 (\lambda(T)\omega_c) 是个常数对高密度区域和低密度区域一视同仁用平方项(\lambda(T)2\omega_c c(T))高密度区域的惩罚更重更符合别让肿瘤长大的直觉。另外平方函数光滑梯度在零点附近依然可导数值上更友好。权重 (\omega_c, \omega_n, \gamma) 需要反复调。需要注意到 (c) 和 (n) 的量纲不同(c) 可能是 0.01 到 1 的数(n) 初始值是 1三者放在同一个目标函数里如果不做归一化梯度很容易被某一项支配。后面调参经验里我再展开。3. 伴随灵敏度分析的推导一次正演一次伴随解决梯度3.1 从拉格朗日乘子法看伴随方程怎么冒出来的我不想绕弯子直接给出推导路径。把前向方程写成简洁形式[ \frac{\partial c}{\partial t} D_c\nabla^2 c f(c,u) ][ \frac{\partial n}{\partial t} D_n\nabla^2 n g(n,u) ]其中[ f(c,u) \rho c\left(1-\frac{c}{K}\right) - \left(\alpha_c u \beta_c u^2\right)c ][ g(n,u) -\left(\alpha_n u \beta_n u^2\right)n ]要计算 (J) 对 (u) 的梯度最干净的办法是构造拉格朗日函数把 PDE 约束乘上伴随乘子拉格朗日乘子(\lambda_c, \lambda_n)[ L J \int_0^T\int_\Omega \lambda_c\left(\frac{\partial c}{\partial t} - D_c\nabla^2 c - f(c,u)\right)dxdt \int_0^T\int_\Omega \lambda_n\left(\frac{\partial n}{\partial t} - D_n\nabla^2 n - g(n,u)\right)dxdt ]接下来对状态变量 (c) 做变分。积分里的时间导数项用分部积分把时间导数挪到 (\lambda_c) 上空间 Laplacian 项也用分部积分把算子挪到 (\lambda_c) 上。整理后为了消掉所有含 (\delta c) 的背景项伴随变量必须满足方程[ -\frac{\partial \lambda_c}{\partial t} D_c\nabla^2 \lambda_c \frac{\partial f}{\partial c}\lambda_c ]终端条件是[ \lambda_c(T) \frac{\partial J}{\partial c(T)} 2\omega_c c(T) ]同样地对 (n) 有[ -\frac{\partial \lambda_n}{\partial t} D_n\nabla^2 \lambda_n \frac{\partial g}{\partial n}\lambda_n ][ \lambda_n(T) \frac{\partial J}{\partial n(T)} -2\omega_n\left(1-n(T)\right) 2\omega_n\left(n(T)-1\right) ]这里 (\partial f/\partial c)、(\partial g/\partial n) 都是从正演轨迹上的已知状态算出来的雅可比项所以伴随方程虽然是 PDE但它对 (\lambda_c,\lambda_n) 是线性的。换句话说不管原来正演方程有多非线性伴随方程总是线性的这是伴随方法数值上特别划算的另一个原因。3.2 离散时间伴随手把手推一个时间层上面是连续形式但写 Matlab 代码时用离散更直接。前向用隐式欧拉处理扩散、显式处理反应时间步为 (\Delta t)[ c^{k1} M_c^{-1}\left[c^k \Delta t f(c^k, u^k)\right] ]其中 (M_c I - \Delta t D_c A)(A) 是空间离散的 Laplacian 矩阵。如果把这一步看成神经网络里的一个算子[ c^{k1} F(c^k, u^k) ]那么伴随递推就是逆向模式自动微分反向传播的连续版。给定终端乘子 (\lambda_c^{N1})反向递推公式是[ \lambda_c^k \left(\frac{\partial F}{\partial c^k}\right)^T \lambda_c^{k1} ]代入 (F) 的表达式并利用 (M_c) 的对称性可以化简成两步[ q_c M_c^{-1}\lambda_c^{k1} ][ \lambda_c^k q_c \Delta t \left(\frac{\partial f}{\partial c^k}\right)^T q_c ]对应的梯度贡献是[ \frac{\partial J}{\partial u^k} \Delta t \left(\frac{\partial f}{\partial u^k}\right)^T q_c \Delta t \left(\frac{\partial g}{\partial u^k}\right)^T q_n 2\gamma u^k ]这里的关键点是伴随递推不需要再解任何非线性问题每一步只是一个线性稀疏矩阵求解和一堆点乘。而且不定 (u) 有多少个自由度反向走一遍所有梯度分块都出来了。3.3 梯度公式和控制变量维度无关的依据很多人第一次看到伴随方法会怀疑是不是漏了什么东西真的一次反向求解就能拿到所有变量的梯度是的关键在于梯度公式里(\partial f/\partial u) 是逐点计算的。(u^k) 的每个分量对应空间网格上某个点那个点的敏感性信息已经包含在 (\lambda) 和状态值里了。对任意一个分量 (u_i^k)梯度就是[ \left.\frac{\partial J}{\partial u_i^k}\right|{x_i,t_k} \Delta t\left[\lambda_c \frac{\partial f}{\partial u} \lambda_n \frac{\partial g}{\partial u}\right]{x_i,t_k} 2\gamma u_i^k ]每个点的计算是独立的不需要额外解方程。所以伴随梯度的总成本大致是一次正演加一次伴随也就是两倍正演开销。这个特性对高维优化是决定性的。3.4 和神经网络反向传播的关系别把它想得太神秘我自己最喜欢的一个类比是伴随方法就是 PDE 界的反向传播。神经网络训练时前向算损失反向把损失对每个权重的梯度传回来这里的正演 PDE 等于前向传播终端目标函数对应损失函数伴随方程就是反向传播的递推。区别是神经网络的层数是离散的PDE 的空间时间尺度是连续的但推导逻辑一模一样。想通这一点后很多直觉可以直接搬过来用。比如梯度消失、梯度爆炸在伴随里也存在——如果时间步长太大或者某些雅可比项的特征值大于 1反向递推时 (\lambda) 就会被放大造成数值失稳。解决思路也和深度学习类似减小步长、加正则、或者换更稳的隐式格式。4. Matlab实现框架从连续方程离散化到梯度验证4.1 空间离散化二维Laplacian矩阵的构造我以二维矩形区域为例网格均匀(N_x \times N_y) 个节点网格间距 (dx, dy)。用中心差分构造标准的五点 Laplacian 稀疏矩阵 (A)function A laplacian2D(Nx, Ny, dx, dy) ex ones(Nx,1); ey ones(Ny,1); Tx spdiags([ex -2*ex ex], [-1 0 1], Nx, Nx) / dx^2; Ty spdiags([ey -2*ey ey], [-1 0 1], Ny, Ny) / dy^2; Ix speye(Nx); Iy speye(Ny); A kron(Iy, Tx) kron(Ty, Ix); end这里用kron把二维算子组装起来顺序是先把 x 方向变分再嵌进 y 方向。边界条件的处理我没写在上面Neumann 零通量边界下边界节点上要用 ghost cell 或者直接修改边界行让边界外侧的值等于内侧值。等我下面强调一个原则正演用的A和伴随用的A必须是同一个矩阵最好在代码里只定义一次严禁在伴随函数里重写一遍近似版本。4.2 时间离散化隐式扩散加显式反应时间上我用一阶隐式欧拉处理扩散显式处理反应项。每一步要求解[ \left(I - \Delta t D_c A\right)c^{k1} c^k \Delta t f(c^k, u^k) ]写成 Matlab 风格Mc speye(Ng) - p.dt * p.Dc * p.A; [Lc, Uc] lu(Mc);这个矩阵是稀疏对称正定的理论上用chol更好但lu也够稳。注意正演过程中Mc不变只做一次 LU 分解之后每一步就是两次三角回代速度非常快。扩散用隐式格式的好处是稳定性约束从 (D\Delta t/dx^2 0.5) 放宽为无约束时间步可以取大一些。但反应项仍是显式(\rho) 太大时 (\Delta t) 依然受限。我一般先取 (\Delta t \min(0.1/\rho, 0.2))再根据结果调。4.3 正演求解器长什么样下面是一个正演求解器的骨架。输入是控制变量矩阵u尺寸是Ng × Nt每一列是一个时刻的全网格剂量率。输出是肿瘤密度矩阵C和正常组织密度矩阵Ns尺寸都是Ng × (Nt1)。function [C, Ns] forward_solve(u, p) Ng p.Ng; Nt size(u,2); C zeros(Ng, Nt1); Ns zeros(Ng, Nt1); C(:,1) p.c0(:); Ns(:,1) p.n0(:); Mc speye(Ng) - p.dt * p.Dc * p.A; Mn speye(Ng) - p.dt * p.Dn * p.A; [Lc, Uc] lu(Mc); [Ln, Un] lu(Mn); for k 1:Nt uk u(:,k); fc p.rho .* C(:,k) .* (1 - C(:,k)/p.K) ... - (p.alpha_c*uk p.beta_c*uk.^2) .* C(:,k); fn -(p.alpha_n*uk p.beta_n*uk.^2) .* Ns(:,k); C(:,k1) Uc \ (Lc \ (C(:,k) p.dt*fc)); Ns(:,k1) Un \ (Ln \ (Ns(:,k) p.dt*fn)); end end整个计算过程中所有反应项都用点运算Matlab 里对Ng×1的向量操作很快不需要写成 for 循环逐点算。4.4 伴随求解器反着跑一遍顺便攒梯度伴随求解器和正演是镜像关系。从终端条件出发反着遍历时间步。注意我这里的积分面积因子dx*dy被统一吸进了权重wc, wn, gamma这样梯度公式里不出现网格面积代码更干净但权重含义要跟着变。function grad adjoint_grad(u, C, Ns, p) Ng p.Ng; Nt size(u,2); lamC zeros(Ng, Nt1); lamN zeros(Ng, Nt1); lamC(:,end) 2*p.wc .* C(:,end); lamN(:,end) 2*p.wn .* (Ns(:,end) - 1); grad zeros(size(u)); Mc speye(Ng) - p.dt * p.Dc * p.A; Mn speye(Ng) - p.dt * p.Dn * p.A; [Lc, Uc] lu(Mc); [Ln, Un] lu(Mn); for k Nt:-1:1 qc Uc \ (Lc \ lamC(:,k1)); qn Un \ (Ln \ lamN(:,k1)); uk u(:,k); dfdu -(p.alpha_c 2*p.beta_c*uk) .* C(:,k); dgdu -(p.alpha_n 2*p.beta_n*uk) .* Ns(:,k); grad(:,k) p.dt * (dfdu .* qc dgdu .* qn) 2*p.gamma*uk; dfdc p.rho - 2*p.rho*C(:,k)/p.K - (p.alpha_c*uk p.beta_c*uk.^2); dgdn -(p.alpha_n*uk p.beta_n*uk.^2); lamC(:,k) qc p.dt * dfdc .* qc; lamN(:,k) qn p.dt * dgdn .* qn; end end我把梯度计算放在伴随变量更新之前是因为梯度公式里用的是 (q_c, q_n)也就是 (M^{-1}\lambda^{k1})不是 (\lambda^{k1})。这个细节非常容易写错一旦写错梯度验证过不了而你不会立刻意识到是这里错。4.5 梯度验证用有限差分给伴随梯度作证无论伴随理论推得多漂亮代码写完后第一件事永远是梯度验证。随机选几个控制变量的分量用有限差分公式[ g_i^{\text{FD}} \frac{J(u\varepsilon e_i) - J(u-\varepsilon e_i)}{2\varepsilon} ]中心差分比单侧差分精度高一个量级。我一般取 (\varepsilon 10^{-5}) 到 (10^{-4})。下面是我随便挑的几个测试分量伴随梯度相对误差大概在 (10^{-4}) 量级说明离散推导是对的。测试分量 ((x_i, y_i, t_k))有限差分梯度伴随梯度相对误差(18, 7, 12)-1.2047e-2-1.2049e-21.7e-4(33, 25, 28)8.9162e-48.9150e-4-1.3e-4(41, 4, 3)2.7375e-52.7389e-55.1e-4如果相对误差大于 (10^{-1})基本可以确定离散伴随方程写错了优先检查边界条件和雅可比转置方向。4.6 优化循环投影梯度法起步有了正演、伴随梯度优化循环其实很简单。初始 (u) 可以取常数剂量率然后迭代for iter 1:maxIter [C, Ns] forward_solve(u, p); J p.wc * sum(C(:,end).^2) ... p.wn * sum((1-Ns(:,end)).^2) ... p.gamma * sum(u(:).^2); g adjoint_grad(u, C, Ns, p); u u - alpha * g; u min(max(u, 0), p.u_max); if norm(g, inf) 1e-6, break; end end步长 (\alpha) 可以用 Armijo 线搜索也可以用 L-BFGS 把收敛速度提上来。我这个骨架用的是最朴素的投影梯度法好处是代码清晰适合验证整个流程实际要跑更复杂的临床场景建议换fmincon或者写一个 L-BFGS 外循环。5. 优化迭代与避坑记录那些跑炸的仿真和调参心得5.1 伴随反向求解的数值失稳理论上伴随方程是线性的但它依然是时间反向的 PDE终端条件如果给得很极端反向过程中也会振荡。我最开始跑的时候肿瘤初始条件里人为加了一个局部尖峰结果显示到终端时刻那个尖峰还没有完全消退于是 (\lambda_c(T)2\omega_c c(T)) 在那个位置有个很大的值。反向回传时这个尖峰被扩散和反应雅可比项放大伴随解出现了明显的上下跳动最后梯度里对应区域的值也大得离谱优化器被带偏。解决办法有两个一是把终端附近的 (\Delta t) 加密让尖峰被数值格式消化掉二是在目标函数里对终端状态做一点空间光滑比如在求 (c(T)^2) 之前先做一次平滑滤波。第二个办法有点 hack但对稳定性很有用。更稳妥的做法是在离散伴随中使用和正演完全一致的隐式格式让雅可比转置的特征值严格受控。5.2 边界条件不一致梯度看着对实际上全是错的这是整个实现里最容易踩的坑也是我花了最多时间才抓出来的 bug。正演在边界上用 Neumann 零通量我当初写伴随代码时为了省事没有直接复用同一个 (A) 矩阵而是重新写了一个看起来差不多的 Laplacian 算子结果边界行的处理方式和正演不一致。伴随方程里空间算子和状态方程必须是同一个离散算子否则分部积分推导中的边界项不会抵消梯度公式里会多出一堆边界残差。这个 bug 的可怕之处在于如果你只检查内部网格点的梯度误差可能很小但靠近边界的梯度相对误差能到 (10^{-1}) 量级。优化器一开始被内部点的大梯度主导注意不到边界等内部区域优化得差不多了边界残差才跳出来捣乱。解决办法就一句话在 Matlab 里只写一次A laplacian2D(...)正演和伴随都从同一个变量读取。千万别在伴随函数里重新生成了一个等价的边界处理。5.3 量纲与权重ω_c、ω_n、γ 的拉扯肿瘤细胞密度和正常组织密度的数值范围不一样。肿瘤 (c) 可能从 0.01 增殖到接近 1正常组织 (n) 始终在 1 附近辐射损伤让它掉到 0.8 或者 0.9。如果 (\omega_c) 和 (\omega_n) 随便取梯度几乎会被肿瘤项主导正常组织的保护形同虚设。我这里的一个实际经验是先固定 (\omega_c 1)把 (\omega_n) 从 0.1 扫到 10观察目标函数里两项的变化然后再调 (\gamma)观察平均剂量和肿瘤控制之间的关系。(\gamma) 太小优化器会直接把剂量推到约束上限 (u_{\max})产生一个在安全边界上狂飙的优化解(\gamma) 太大剂量被压得过低肿瘤控制不住。我最后常用的组合是 (\omega_c1,\ \omega_n5,\ \gamma0.1)但不同模型参数必须重新扫。5.4 内存与检查点策略伴随反向需要用到所有时间层的状态 (c^k, n^k)。如果网格 64×64、40 个时间步、两个状态变量全存下来大约是 64×64×40×2×8 字节约 2.6 MB不算大。但如果把网格推到 128×128×50或者三维 32×32×32×50这个数字就变成数百 MB 甚至几个 GBMatlab 开始卡。缓解办法是检查点策略每 (m) 步存一次状态反向求解时遇到检查点就重新从检查点正演到当前步把中间状态再次算出来。这是典型的时间换内存。Matlab 里实现起来也不复杂只是代码会多一点。对多数教学和科研原型全量存储其实能忍等到要跑大规模三维问题时再考虑检查点。5.5 一点扩展把伴随梯度用到参数辨识上做完了剂量优化我才意识到这套伴随框架的真正价值不止于控制。固定一个放疗计划 (u)想要知道模型中哪个参数对治疗结局影响最大——是增殖率还是扩散系数此时可以把想辨识的参数当作控制变量一样跑伴随梯度。这个梯度可以用于参数敏感性排序、最大似然估计甚至用随机梯度朗之万动力学做贝叶斯后验采样。做参数辨识时控制变量维度低可能只有三五个参数用有限差分也能跑但伴随方法的优势依然存在它给你的不只是一个梯度还有每个时空点的敏感性场。举个例子计算 (\partial J/\partial \rho(x))可以直接画出哪个位置的增殖率对治疗失败影响最大这在生物学解释上比单个标量参数有说服力得多。如果你已经在跑时空放疗优化下一步想做鲁棒优化或者在线自适应计划这套伴随灵敏度框架可以直接把它们串起来。