这个规律初看确实会让人转不过弯来但它的推导过程其实非常漂亮且易懂。为了帮您彻底理解它我们可以从生活直觉、严格代数推导以及快速变形三个角度来看角度一生活直觉 —— 分蛋糕法假设我们有1 个蛋糕我们要把它分给一些人。aaa和bbb分别代表来分蛋糕的人数。已知ab0a b 0ab0比如a10a 10a10个人b2b 2b2个人。左边1a\frac{1}{a}a1代表 1 个蛋糕分给aaa个人每个人能分到110\frac{1}{10}101个蛋糕。右边1b\frac{1}{b}b1代表 1 个蛋糕分给bbb个人每个人能分到12\frac{1}{2}21个蛋糕。显然分蛋糕的人数越多aaa越大每个人分到的蛋糕就越少。因此1a\frac{1}{a}a1必定小于1b\frac{1}{b}b1。角度二严格的代数推导 —— 作差法数学中最标准的方法在数学中要证明一个数XXX比YYY小即XYX YXY最标准、最严谨的方法是证明Y−X0Y - X 0Y−X0用大数减小数只要结果大于 0就证明大小关系成立。在这里我们想证明1a1b\frac{1}{a} \frac{1}{b}a1b1也就是要证明1b−1a0\frac{1}{b} - \frac{1}{a} 0b1−a10我们对左边进行通分计算1b−1aa−ba⋅b\frac{1}{b} - \frac{1}{a} \frac{a - b}{a \cdot b}b1−a1a⋅ba−b现在我们只需要观察通分后这个分数的分子和分母的正负号看分子 (a−ba - ba−b)因为已知条件是aba bab所以aaa减去bbb必定是一个正数大于 0。看分母 (a⋅ba \cdot ba⋅b)因为已知条件是a0a 0a0且b0b 0b0两个正数相乘结果也必定是一个正数大于 0。因为正数正数正数\frac{\text{正数}}{\text{正数}} \text{正数}正数正数正数所以a−ba⋅b0\frac{a - b}{a \cdot b} 0a⋅ba−b0从而推导出了1b−1a0\frac{1}{b} - \frac{1}{a} 0b1−a10把−1a-\frac{1}{a}−a1移项到不等号右边就得到了1b1a(即 1a1b)\frac{1}{b} \frac{1}{a} \quad (\text{即 } \frac{1}{a} \frac{1}{b})b1a1(即a1b1)角度三快速变形 —— 同乘正数法不等式有一个基本性质在不等式两边同时乘以一个大于 0 的正数不等号的方向保持不变。我们已有的不等式是aba bab因为已知a0a 0a0且b0b 0b0所以它们的乘积a⋅ba \cdot ba⋅b必定是一个大于 0 的正数。那么它的倒数1a⋅b\frac{1}{a \cdot b}a⋅b1也必然是一个大于 0 的正数。现在我们将不等式aba bab的左右两边同时乘以这个正数1a⋅b\frac{1}{a \cdot b}a⋅b1符号不需要变反a⋅1a⋅bb⋅1a⋅ba \cdot \frac{1}{a \cdot b} b \cdot \frac{1}{a \cdot b}a⋅a⋅b1b⋅a⋅b1进行约分和化简左边aaa和分母的aaa约掉剩下1b\frac{1}{b}b1右边bbb和分母的bbb约掉剩下1a\frac{1}{a}a1结果直接就是1b1a(即 1a1b)\frac{1}{b} \frac{1}{a} \quad (\text{即 } \frac{1}{a} \frac{1}{b})b1a1(即a1b1) 特别提醒为什么已知条件里必须强调“0 00”如果去掉000的限制这个规律就不一定成立了。比如若a2,b−3a 2, b -3a2,b−3此时aba bab是成立的。但如果我们取倒数1a120.5\frac{1}{a} \frac{1}{2} 0.5a1210.51b−13≈−0.33\frac{1}{b} -\frac{1}{3} \approx -0.33b1−31≈−0.33此时1a\frac{1}{a}a1正数依然大于1b\frac{1}{b}b1负数符号并没有反过来。所以只有当aaa和bbb同为正数或者同为负数时取倒数才一定会让不等号的方向发生改变。