简介面向数学建模2020年B题的Matlab源码包适合正在备战建模竞赛、需要参考完整赛题编程实现的学生和培训团队。资源围绕四关递进式求解展开重点解决第二关双地图双村庄下的矿山与补给选择、第三四关天气不确定时的路线规划并对数学期望与随机分布两种最优方案做了对比分析。压缩包共114个文件包括93个m脚本、15个mat数据、5个asv备份及1个xlsx表格整体仅66KB其中m脚本为主要可运行程序mat文件存放地图与天气分布等配套数据xlsx表格用于记录不同方案的结果对比结构清晰便于按关卡研读。已有1239人学习适合想深入理解单目标优化、动态规划、概率预测在数学建模题目中如何落地实现的读者对竞赛冲刺、课程设计与代码复现都有帮助。1. 2020 年数学建模 B 题这份 Matlab 源码包把“穿越沙漠”的底账算清了2020 年的数学建模 B 题就是那个经典的“穿越沙漠”问题给一张图、一组天气时序、水和食物的消耗价格让玩家从起点走到终点途中还要决定挖不挖矿、买不买补给。我拆的这份 Matlab 源码包不是只丢一个主脚本而是把地图、天气、价格、状态转移和结果输出全部参数化第一问跑完直接改参数接第二问。适合两类人一类是拿现成代码做基线、再自己改规则的参赛者另一类是刚好在学动态规划想找一份真实案例把状态转移写明白的开发者。先给结论这套代码的核心价值不在于“算出路径”而在于把“哪天赶路、哪天挖矿、哪天买水”压缩成一个可回溯的状态网络再用 DP 逐日扫过去。2. 代码拆包从主程序入口到三个核心函数打开源码包第一眼看到的文件数量会劝退一部分人但真正需要关心的只有两个文件参数文件和求解器。先不要急着双击 main.m而是先分清哪个文件负责定义规则哪个文件负责做决策。2.1 文件清单与入口先分清 data 和 main这套包的命名延续了绝大多数 Matlab 竞赛代码的习惯main.m主入口负责读参数、初始化、调用求解器、输出结果data_params.m把题目里的常数全部集中到这里相当于“配置中心”build_graph.m把地图节点、边、邻接矩阵建出来state_trans.m把“昨天状态 → 今天状态”的转移规则写出来dp_solver.m动态规划主循环返回每天的最优决策plot_result.m画出每天的坐标、水、食物、资金变化。我拿到包之后会先打开data_params.m和dp_solver.m。前者定义规则后者是坑最集中的地方。其余文件只需要跑通一次就够真正改动频率最高的就是这两个。这里有一个反直觉的地方main.m里的执行顺序并不等于阅读顺序。直接从头读 main 会先看到绘图代码再看到求解调用很容易把核心逻辑绕进去。更稳妥的顺序是从data_params.m读起把参数表搞懂再看转移函数最后回到 main 验证调用顺序。打开data_params.m最典型的一组参数定义长这样% data_params.m % 把所有题面常量集中配置后续函数统一从这里取值 startMoney 10000; % 初始资金 maxLoad 1200; % 水和食物的总背包上限 waterMax 1200; % 单类水的携带上限防数组越界 dayLimit 30; % 最大天数超过就判定失败 price.water 5; % 水的单价村庄价 price.food 10; % 食物的单价 mineIncome 1000; % 挖矿一天的收入具体以题面为准这段代码的作用是把所有“拍脑袋”的数字收口到一个文件里。后续计算全部从文件取值就不会在十几个脚本里到处找 30、10000 这种魔数。参数里最容易被忽略的是waterMax和maxLoad。如果只设置 maxLoad1200但初始化状态数组时用成单维长度后面的索引很容易越界。第 4 章会专门讲这个越界现象。有人会问为什么不直接把题目数字写死在求解器里只跑第一问确实可以但数学建模题通常有一二两问两问的天气表、地图节点数、挖矿收益都不同。把参数集中起来第一问跑完换第二问只需要改这个文件不动求解逻辑。2.2 状态定义与转移方程为什么用五元组而不是贪心这类资源调度题很难一眼看出最优解。贪心策略会把问题简化成“先拼命挖矿、再拼命赶路”但题目里天气是随日变化的高温天赶路的耗水量明显更高。如果只算当前收益很可能第 10 天把水喝光后面 20 天全部报废。代码包里采用的是按天扩展的状态转移。每一天的状态用一个五元组表示% state [day, pos, water, food, money] % day : 当前是第几天 % pos : 当前所在节点的编号 % water : 当前携带水量 % food : 当前携带食物量 % money : 当前剩余资金为什么要保留 water、food、money 三个维度而不是合并成“总箱数”因为三者不能直接相加。水和食物虽然都以“箱”为单位但价格不同、每天消耗不同金钱是购买力的来源三者互相制约。如果只存一个总重可能背了一堆食物但缺水照样暴毙。转移方程的核心代码如下% state_trans.m % 输入昨天状态 s0今天的天气 wtype所在节点 type % 输出今天所有可达状态的集合 function s1 state_trans(s0, wtype, nodeType, params) baseWaterCost params.cost.water(wtype); baseFoodCost params.cost.food(wtype); % 今天的行动分三类停留、挖矿、移动 % 每种动作消耗不一样不能统一用一个数字 actions.water baseWaterCost params.actionExtra; actions.food baseFoodCost; % 对每个动作更新状态 states updateByAction(s0, actions, nodeType, params); % 最后按water, food, money去重保留资金更大的那个 s1 uniqueStates(states); end这段代码里最容易被新手改崩的是params.actionExtra。停留、挖矿、移动这三种动作的额外消耗并不相同尤其是挖矿它不消耗额外食物但会占掉一整天不能和移动叠加。很多二次开发者把消耗写成固定数跑出来的结果偏乐观复盘时发现代码说能到终点手算却撑不到。updateByAction会生成三份候选状态原地停留、挖矿只在矿山节点、移动。移动依赖build_graph.m给出的邻接矩阵所以调用顺序是先建图再转移最后选优。按照这个顺序读代码比从 main 进入舒服得多。看一个更完整的动作扩展例子% updateByAction.m 片段 function states updateByAction(s0, actions, nodeType, params) states []; % 动作1停留 s_stay s0; s_stay.water s_stay.water - actions.water; s_stay.food s_stay.food - actions.food; states [states; s_stay]; % 动作2挖矿只允许在矿山节点 if nodeType params.mineNode s_mine s0; s_mine.water s_mine.water - actions.water; s_mine.food s_mine.food - actions.food; s_mine.money s_mine.money params.mineIncome; states [states; s_mine]; end % 动作3移动遍历邻接矩阵 for next find(params.graph(s0.pos, :)) s_move s0; s_move.pos next; s_move.water s_move.water - actions.water * 1.5; s_move.food s_move.food - actions.food; states [states; s_move]; end end注意这里移动的水消耗加了 1.5 倍权重具体倍数要以赛题消耗表为准。这段代码的价值在于把三种动作拆开后续调参时可以单独改“移动额外消耗”而不影响停留和挖矿逻辑。如果一开始就写成一个统一消耗公式后面想试“高温天不走”的策略会非常别扭。2.3 dp_solver 主循环逐日推进与状态剪枝动态规划求解器的主循环看起来很短就是一个 for 循环日复一日地推进% dp_solver.m 核心片段 function opt dp_solver(params) states initStates(params); % 第0天只有起点一个状态 for day 1:params.dayLimit next []; for k 1:length(states) s states(k); cand state_trans(s, params.weatherSeq(day), ... params.nodeType(s.pos), params); cand prune(cand, params); % 去掉死亡状态 next [next; cand]; end states mergeDominant(next, params); % 同状态下只保留资金最多者 if isempty(states) error(第 %d 天所有状态全部不可行, day); end end opt backtraceFinal(states, params); end里面的mergeDominant是决定能不能跑完的关键。朴素写法下每一天的状态数量会指数增长把 30 天状态全塞进内存基本到第 8 天就卡死。合并原则很简单在同一个(day, pos, water, food)组合下只保留资金最多的那个状态。因为后面所有动作只依赖当前状态和天气过去是怎么走到这里的已经不重要了这就是动态规划的最优子结构。有一处和直觉相悖循环里的params.weatherSeq(day)是“第 day 天的天气”但initStates初始化的是“第 0 天”的状态。很多二次开发者在改天气数组时把第一格写成了第 1 天导致转移循环里第一天用的是第二天的天气。这个问题在输出结果时看不出来只有手算三天才对不上账。这种“隔位错位”的坑几乎每个改过天气数据的人都会踩一次。还要提一下backtraceFinal。DP 只保留最优状态但没有记录“每个状态是从哪个前一天状态来的”。为了能输出完整路径代码里会在mergeDominant时同步记录一个前驱指针。如果最终结果只给数值不给路线多半是这个指针被忽略了。最直接验证方式是把plot_result.m画出来的路径和题面地图对照看是否经过村庄和矿山。3. 参数配置与调优把天气、消耗与价格做成一张可改的表Matlab 代码包真正值钱的地方不是求解器而是“参数怎么配置”。赛题给了天气规律但实际运行时它是一张时序表。很多包把天气写在脚本中间换题时改起来极其痛苦。3.1 天气与消耗参数表顺序敏感别用列名在这套包里天气存储用的是行向量每个取值代表一种天气% 天气编码1晴朗2高温3沙暴 weatherSeq [1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1];这个向量的长度必须等于 dayLimit否则主循环多算一天或漏算一天不会有明显报错结果却偏高。常见的错误是直接复制题目里的天气周期但节点数没对齐。更可靠的做法是加一行断言assert(length(weatherSeq) dayLimit, 天气序列长度必须等于最大天数);消耗表用矩阵保存是最直观的cost.water [3, 9, 2]; % 晴朗/高温/沙暴 下的水消耗 cost.food [2, 2, 1]; % 晴朗/高温/沙暴 下的食物消耗这里是很多人理解出错的地方沙暴天气不是“不能动所以不消耗”而是就算在原地蹲一天也要消耗固定的水和食物。上面矩阵里沙暴列分别是 2 和 1说明沙暴天的生存成本其实不低。如果改成 0最优解就会变成“遇到沙暴就原地休息、白赚一天”显然不符合题目规则。价格表可以整理成这样一张对照表参数名起点价格村庄价格说明price.water510村庄更贵除非补给不足不建议买price.food1020同上mineIncome6001000第二问挖矿收益会下调改这里有人会问为什么起点和村庄价格不一样因为起点是“出发前最后一次采购”价格低于村庄所以代码包里用两个字段区分。如果合并成一个 price就丢失了“在起点囤货”这个策略空间结果会差不少。3.2 剪枝条件的参数不要把“不能动”当成“死循环”DP 的剪枝条件通常由三个阈值组成最大天数、最低生存资源、最晚到达时间。源码包里有一个earliestArrival(pos, day)函数用于估算从当前位置到终点的最短剩余天数function ok isViable(state, params) minDaysLeft shortestRemainingDays(state.pos, params.graph); if state.day minDaysLeft params.dayLimit ok false; % 就算后面每一步都走最短也会超期 elseif state.water 0 || state.food 0 ok false; % 当天已经暴毙 else ok true; end end剪枝里最常见的误用把“当前没水”判定为死亡但在转移函数执行完之后才判断而不是在执行之前。问题在于如果当前状态停在村庄本可以通过当天购水续命结果却被提前剪掉。正确顺序是先让状态进入村庄再执行“购买并扣钱”最后才判断water是否够撑到下一步。调优时另一个值得注意的参数是shortestRemainingDays。它默认用无权图最短路径忽略了天气。如果地图边上只有一条长路中间好几天沙暴这个估算会偏乐观。把估算值放宽 1 天通常不会牺牲最优性却能把大批无望状态提前淘汰。我一般会在dayLimit上直接多给 1 个缓冲天让剪枝不至于太激进。3.3 把第二问改成多人模型只需改动两处如果这份代码只写了单人 DP第二问的多人会变成另一个脚本。但代码包里通常把多人模型拆成“外层角色轮转 内层单人 DP”每天先让每个角色按单人策略执行再检查物资冲突。改动最少的接法是这样的把dp_solver的返回值从“单条路径”改成“路径数组”再在state_trans里加一个role_id维度。真正要改的其实只有两处第一处是state_trans的参数长度把单个状态扩展成两个人各自的携带量第二处是mergeDominant的比较维度需要同时比较两个人的水、食物、金钱之和才能判断谁的状态更优。其他函数基本不动这个包就是为了让一二问复用才把参数拆得这么细。如果你拿到的包没有拆这么细我建议自己重构一次。方法就是把所有params字段当作一个 struct 传递而不是用一堆global变量。这个习惯能省下后面调参的大量时间。全局变量表面省事实际会让两个 m 文件互相引用改一个参数查半天才能定位。4. 常见问题跑 B 题 Matlab 源码时的五个翻车现场我实际跑这类源码包时遇到的大多数报错都来自数据长度、索引习惯和编码。下面五条是不同设备上运行过后最常见的现象每条都按现象、原因、解决三步拆开。4.1 报错“索引超出数组边界”位置在 state_trans现象第一次运行 main.mstate_trans.m里报错下标越界而且是在 day5 左右开始。原因天气weatherSeq和dayLimit长度不一致。比如 dayLimit30但 weatherSeq 只写了 29 个值或者反过来索引从 0 开始而 Matlab 从 1 开始。在for day 1:dayLimit里第 1 天读weatherSeq(1)如果数据是从第 0 天复制的就会整体错位最后一段越界。解决在 main 里加一句断言assert(length(weatherSeq) dayLimit)。同时养成从 1 开始索引的习惯核对时用disp(weatherSeq(1))和disp(weatherSeq(dayLimit))打印两端确认和题面一致。4.2 跑完结果比手算多出好几十箱水像凭空出现现象输出里第 7 天水的数量比前一天多了 20 箱但当天没有移动到村庄也没有购买。原因state_trans里对“停留”和“移动”两个动作更新状态时调用同一个消耗矩阵但矩阵的列顺序错了。比如天气编码是 1晴朗、2高温、3沙暴而消耗矩阵写成[3 2 9]把高温和沙暴的索引换了一下。因为沙暴天的消耗小程序以为沙暴天最节省于是把沙暴天当成“休息日”白白省下资源。解决把消耗矩阵打印出来逐列核对。最直接的方式是给矩阵加行注释不依赖下标记忆。另一个办法是写一个临时验证函数模拟某天天气为沙暴断言当天消耗必须大于等于 2不符合就报错。4.3 提示“无法执行”但此前明明到了终点现象结果显示终点的路径已经找到但 dp_solver 抛错第 28 天所有状态全部不可行而这天刚好是终点所在位置。原因状态合并逻辑把“终点状态”提前删除了。prune判断的是“能不能继续走”却没判断“到没到终点”。如果当天已经到达终点就不需要再更新第二天状态但代码仍然尝试转移于是终点状态被修剪掉。解决在mergeDominant前加一条if state.pos terminalPos, keep; end把终点状态单独保存不参与后续剪枝。同时要保证 backtrace 能从第 28 天的终点状态反推路径而不是第 29 天去找。4.4 内存迅速飙升到 12 天就被系统杀进程现象day12 左右内存占用涨到几个 GB电脑开始卡顿最后 Matlab 无响应。原因next [next; cand]这种逐行拼接写法在循环里会反复拷贝数组形成二次复杂度。更严重的是状态没有实时去重导致同一天同一位置出现几百种不同水量组合状态数量指数增长。解决把mergeDominant提前到每一天内的实时合并。常见做法是用containers.Map以[pos, water, food]为 key每次更新只保留 money 值最大的状态。如果状态维度太高先压缩 food 的粒度比如只保留 5 的倍数得到的次优解往往只差 1% 成本但内存占用退回到几百 MB。4.5 第二次运行 main.m 结果和第一次不一样现象连续两次跑相同代码最优路径不同但资金数完全相同。原因代码里有rng shuffle或类似随机初始化背包问题在 DP 之外做了一次随机扰动。很多下载代码会为了“看到不同路径”故意加随机但数学建模结果要求可复现。解决在 main.m 第一行固定随机种子rng(2020)。如果代码里用了randperm初始化驻点顺序把这一行改成固定排列。凡是涉及随机的地方都注释掉。从那以后我每次拿到新参数包第一件事就是检查有没有rand或rng有就立刻固定下来否则后面所有对比实验都是白做。5. 结果验证用手算一局“缩小版沙漠”给程序挑错5.1 构造 3 节点最小验证地图跑正式比赛数据之前先做一个只有 3 个节点的小地图起点到矿山矿山到终点天气序列只给 3 天。把代码包里的参数改成这个小地图运行结果必须和你手写的状态表一致。不一致就先别碰大数据。% test_mini.m params.dayLimit 3; params.weatherSeq [1, 2, 3]; % 晴朗、高温、沙暴 params.graph [0 1 0; 0 0 1; 0 0 0]; % 起点1 - 矿山2 - 终点3 params.mineIncome 0; opt dp_solver(params);手工验证时重点盯一个动作矿山停留一天后资金是否减少。原题中矿山不是补给点不能买水买食物许多初版代码会把矿山误判为村庄结果资金凭空变多。这个小地图正好能暴露这个 bug如果最终资金大于初始资金说明代码在你没注意的地方“刷了钱”。5.2 稀疏存储用容器对象替换全量数组Matlab 里zeros(dayLimit, nodeNum, waterMax, foodMax)这种全量数组很快会把 1200 乘 1200 的状态空间撑爆。更可靠的做法是改成稀疏存储每天只保留可达状态再用containers.Map做聚合。这个改动一般能让运行时间从十几分钟降到一两分钟而且不影响最优解。% 稀疏存储示例 states containers.Map(KeyType, char, ValueType, any); key sprintf(%d-%d-%d, pos, water, food); if states.isKey(key) states(key) maxState(states(key), candState); else states(key) candState; end使用 char 拼接 key 时要注意water10 和 water010 会保留不同的字符串但作为 key 没有冲突。只要保证格式一致就不会出现两个不同状态误合并。另一个提速技巧是把state_trans里重复计算的动作消耗矩阵提前缓存在 30 天 × 300 状态的情况下能省掉上千次矩阵索引。我从这套代码学到的习惯是拿到任何一份 Matlab 优化源码先写一个小地图自测再决定用不用。约简地图能跑通、数值能对上账意味着参数、状态定义和转移方程都站得住如果小地图都对不上问题基本不在算法复杂度上。从那以后我每次换题、换天气表都强制先跑一遍test_mini.m确认不会“凭空多水”再放开跑希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取