矢量的客观性和主观性宇宙中飘过来一个自由矢量全世界的人都可以看到大家都在想怎么描述它呢总不能指着它说“那个矢量”吧。数学家很聪明于是建立了一个坐标系这个矢量投影到坐标系下就得到了几个数就用这几个数就可以描述这个矢量了。这招确实不错但是问题来了没有这组数字大家脑子中的矢量是客观且抽象的有了这组数字矢量就变成了建坐标系的这个人的了每个人都可以建立自己的坐标系去描述这个矢量问题出现了矢量存在的客观性和坐标系描述的主观性之间产生了矛盾。保留客观性没有具体的数字不好计算选择了坐标倒是容易计算了但是每个人眼中的矢量就又不一样了。数学家给出的办法是先让一个朋友主观的选择一个坐标系用一组坐标数字描述这个矢量然后在给出一个所有坐标系的之间的变换这样每个人都能拿着一组任意的主观的坐标数据通过一定的变换关系变换到自己的主观坐标系下也就是说一个主观坐标一组变换方法可以换得全世界所有的主观视角一旦我们掌握了所有的主观视角主观到了极限我们便再次拥有了客观。基变换在线性代数的学习中n维空间中的n维向量的元素常常是由相对独立的因素组成的这些相对独立的因素或者完全独立(垂直或者正交或者相对独立线性无关我有你没有的部分。对于n维空间的几何图形的想象坐标轴的现实意义上的垂直不是必须的如果几何意义上的垂直或者正交代之以代数意义上的线性无关概念取消了几何作图对垂直的要求我们的平面就可以通过斜坐标系画出来了就可以形象理解了由n个线性无关向量张成的n维空间的理论进而想象高维空间的图像也就不是一件特别困难的事情了。空间本身并没有内蕴的网格每种基下的宇宙空间生物都可以按照基的方向绘制自己的网格是有助于帮助理解它所在的空间的工具网格是主观的不同的网格空间通过变换达到对方的网格实现坐标系的切换。因为所有的向量乘以0都是零向量不同的坐标系下的宇宙生物对0向量的位置可以达成共识。空间中的两个点决定了一个自由向量把所有自由向量的初始点全部拉到坐标原点这样平面中的任意一个点就可以和一个向量对应上了用群的观点看是一种自由向量和笛卡尔坐标系中点的之间的同构。自由向量的坐标是可以看成是2个标量这两个标量的值和坐标系基的选取有直接关系因为基向量正是这两个标量缩放的对象。所以通常将坐标向量写成列向量的方式其实是有问题的这种写法并没有体现另一个关键要素-坐标基于的基正确的写法应该是上面的式子那样可以把基向量看成是隐藏于空间坐标系网格中的隐含假设基变换是说任何两个线性无关的向量都可以作为新的坐标系的基定义新的网格并通过将新基定义为完成加冕基矩阵变成了单位矩阵之后坐标就可以直接写成列向量的形式了无论新基是否正交我们都可以在该坐标系下将基向量自身视为。坐标系切换的本质就是重新定义“单位向量”与基的正交性无关。非正交性仅导致内积计算不同考虑到度量矩阵后面会介绍但线性变换的代数描述完全自洽。只要不涉及角度距离等的度量可以将任意两个线性无关的向量作为10和01而产生新的坐标宇宙因为这两个向量就是定义坐标10和01含义的向量。从GPS经纬度看“基”的主观性与度量诞生我们不妨把视线从抽象的空间拉回我们居住的星球。GPS定位地球上的位置用的正是经纬度。这其实是理解“基”与“坐标系”最生动的隐喻。当我们报出一个坐标比如北京东经116.4°北纬39.9°时我们往往只看到了两个孤立的标量并将其视为理所当然。但这组“坐标列向量”的背后其实隐藏着一套极其强硬的“隐含假设”本初子午线0度经线、赤道0度纬线以及地球中心原点。这就是地球定位的“基”。本初子午线定义了“东经/西经”这个方向的基准轴赤道定义了“南纬/北纬”这个方向的基准轴而地心则是这个空间里被选定的原点。正如在前文所说客观存在的物理位置向量是不变的但经纬度坐标列向量完全是主观的“配方”。脱离了这一组特定的基单独的“东经116.4°”毫无意义。如果不信我们可以在脑海中做一个纯几何的“基变换”。想象一下如果我们将本初子午线人为地向东平移20度这就是一次重定义基向量的操作那么北京的物理位置没有任何改变客观向量不变但它的经度坐标会立刻变成东经96.4°。这就是最直观的坐标变换。一旦我们选定了新的基列向量必然发生改变。但无论坐标如何切换地球的中心或者地轴的两极即0向量的位置是全体坐标系下的共识——因为所有的向量乘以0都是零向量不同的坐标系下的宇宙生物对0向量的位置总能达成共识。更深刻的启示在于“非正交”带来的度量变化。经线和纬线是正交垂直的吗在球面上它们看似构成了一个完美的直角网格。但在真实的地球上这其实是一个局部的、非线性的斜坐标系。在赤道附近经度相差 1∘的物理距离大约是 111公里但在北极附近比如北纬 89∘经度相差 1∘ 的物理距离却不到 2公里。这说明什么说明坐标数值的变化列向量和物理距离的变化客观向量中间差了一个“度量矩阵” G。正如我们在上一篇中提到的“非正交性仅导致内积计算不同”。在这个球面坐标系里度量矩阵 G 会随着纬度的变化而变化。而最令人惊叹的是GPS对“局部基”的依赖这直接敲开了现代微分几何的大门。在球面上你无法找到一组全局的、处处适用的“直线基向量”你无法在一张平面纸上画出完美的全球直角网格。在北极点经度的方向甚至失去了定义所有经线汇聚于一点原点失去了唯一性。因此我们只能在局部建立坐标系。地球上的每一个点都有自己专属的“东向、北向、天向”三个互相垂直的局部基向量局部切空间。GPS在导航时本质上就是在不断地切换这些局部基并在它们之间进行坐标变换这正是“联络”与“协变导数”的雏形。我们以为自己在看一张平面的地图实则是在一个弯曲的流形上用主观的网格去丈量客观的宇宙。网格是主观的基是主观的但空间本身的客观结构永远在那里静候着我们的探索。一个很自然的问题是我们如何在不同基下进行坐标变换坐标变换问题在基下的坐标向量-12如何变换成我们的坐标系下的坐标转换到我们的坐标系下就可以得到我们的坐标系下的坐标了:线性变换的一个重要特性在于变换后的向量仍旧是相同的线性组合不过使用的是新的基向量。用数学语言表示就是举例说明在原坐标系下的向量21经过剪切矩阵的变换后以剪切矩阵的列向量为新基这也是原坐标轴转移到的地方其坐标仍然是21只不过是基于新的基向量从原坐标系来看其坐标是31)。 两个坐标谁是对的呢? 答案是相对于各自的基向量两个坐标都对两者描述同一向量只是参考系不同。所以当我们讨论坐标的时候一定要事先问清楚相对的是哪个基抛开基向量讨论坐标位置是没有意义的,就像“苹果”与 “apple”指代同一物体但符号不同它们的基就是不同的文明背景。笛卡尔说“参考系是测量的舞台脱离舞台的舞步毫无意义。”线性变换矩阵可以看作原基向量运动到新位置后用原基表新位置的坐标构成的矩阵这一规则对非正交基坐标系仍然成立,所以线性变换矩阵的构造规则,用原基表示变换后的基向量对非正交基完全成立。线性变换的几何效果如旋转角度与基的选择无关非正交基仅改变坐标描述形式。无论基是否正交线性变换矩阵始终由 原基向量的像在原基下的坐标 作为列向量构成。非正交性仅影响内积和长度的计算不影响变换矩阵的构造规则和功能。因为线性变换是纯粹的代数结构线性空间同态它只关心“向量的线性组合”不关心“向量有多长、夹角有多美”。而内积、长度、角度是额外的度量结构。把这两个概念分开是理解现代代数和几何的关键一步。比如上图构造的剪切矩阵对应的线性变换是把矩阵列当成新基后在原基原来的正交坐标系下的坐标。如果用剪切矩阵的列向量作为新基在新基下的90度逆时针旋转对应的线性变换对应的矩阵表示原正交坐标系下表示90度旋转的线性变换矩阵在新基下对应的相似共扼矩阵为矩阵B其列向量表示的就是90度旋转变换在新基剪切基下的坐标我们可以看一下新基剪切基下B矩阵列向量表示的坐标位置在哪里可以看到达到的位置恰好是平面上逆时针90度旋转达到的位置为了看出变换后向量到达的位置我们绘制目标向量E-D)作为变换后的目标向量确认在剪切矩阵作为基的情况下变换矩阵的列向量确实是相对于原基剪切矩阵的坐标而非相对于最初始正交基。所以在任意初始基下线性变换矩阵列向量可以看成是变换完成后初始基变换后的向量位置相对于初始基的坐标。在剪切基下矩阵的作用是将原基剪切矩阵进行了逆时针90度旋转两个矩阵乘积的本质则是在初始矩阵下连续应用两个矩阵对应的线性变换相乘的两个矩阵都是相对于最初的坐标系的无论最初坐标系是否是标准正交坐标系两个矩阵乘积 AB 的本质是在初始坐标系下连续应用两个矩阵对应的线性变换先 B 后 A且这一解释无论最初坐标系是否是标准正交的都成立。只要两个矩阵都是相对于同一个初始坐标系定义的矩阵乘法就精确地表示了线性变换的复合。证明比较容易假如正交坐标系下的两个线性变换矩阵复合等于C标准正交基到新基的转移矩阵为P那么分别取两个线性变换矩阵AB的共扼得到两个线性变换在新基下的变换所以在新的非正交基下应用两个对应的线性变换矩阵可以看到即便在非正交基下连续应用两个线性变换矩阵的结果仍然是新基下矩阵乘法的复合矩阵乘法和矩阵对应的基向量是否正交无关只要两个矩阵相对于同一个基结论都适用。变换性性质不依赖于基的选择这个结论让人爽死它说明一件事事物的本质和个人的立场和视角无关本质无关立场和视角正义的价值无需所有人认可只需要忠实于道德和时间。如果我们相信存在客观道德真理那么它们应该在任何视角下都成立就像数学真理一样。垂直的绝对性前面提到了可以将非正交的基看成是(1,0)和(0,1)而不会产生自洽问题但是线性代数中明明学过两个垂直的向量其内积为0内积的计算方式是两个向量的坐标点乘所以如果新的非正交坐标系可以看作是(1,0)和(0,1)其坐标点积为0推导出内积为0说明两个坐标系垂直但是前提明明是新基非正交的呀矛盾出现了。问题出在哪里其实上面的逻辑链条中存在一个问题在任何坐标系下内积为0确实意味着向量互相垂直但是在非正交基下内积就不能通过坐标的点积进行计算了在非正交基下计算内积的方式发生了变化不再是两个向量的坐标点乘坐标位置依赖于基的选择自然点积计算的结果也依赖基的选择。但是直角等于90度和向量内积为0在任何空间都是绝对的和选择什么作为基无关哪怕生活在宇宙黑洞附近的生物在它们肉眼可见的弯曲世界里面对微观尺度上的90度直角和人类的感受也是一样的--夹角90度才是真正的垂直任何宇宙文明测量可微的局部角度时都会同意90度的存在并认同构成90度角的两个微向量内积为0.所以坐标点积为0只有在正交坐标系下才意味着垂直在非正交坐标系下坐标点积为0不能用于判断垂直坐标点积是一个无几何意义的纯数值运算。非标准正交坐标系下坐标点积为0不能直接推导出向量垂直实际内积为0向量垂直实际内积为0也推导不出坐标点积为0.所以在非标准正交基下坐标点积为0和向量是否垂直没有任何关系两者只有在标准正交坐标系下才互为充要条件。在包括非正交形式的任何基变换下垂直都是绝对的垂直由真实内积 ⟨u,v⟩0定义在任何坐标系下对应90°夹角。实际上内积的完整计算公式是其中G是度规矩阵在标准正交基下G是单位矩阵所以可以内积计算公式蜕化为线性代数课本上介绍的而在非正交基下其空间中的两个向量的内积计算公式为为了计算G我们先将非标准坐标系下的向量转换回原正交坐标系因为原坐标系正交可以直接用坐标点乘得到真实内积代入所以最终得到度规矩阵G的表达式如下可以看到其是一个对称矩阵考虑到非正交坐标系则任意向量的长度公式变为在非正交基下坐标点积为零的向量不一定实际垂直。其实际夹角由度量矩阵G修正举例说明设定地球人标准正交基点P的坐标(3,4).外星人非正交基从地球人的角度看其基坐标为但是对于外星人来说他们同样认为自己的基是(1,0)和(0,1),和地球人无异。地球人根据基变换规则计算出同样的P点在外星人的坐标系下的坐标为地球人计算P点到原点的坐标根据勾股定理在小尺度下外星人没有意识到自己使用的基是非正交的如果其同样知道了勾股定理则其计算两点间距离的方式和地球人一样根据勾股定理同样空间中两点间的距离外星人计算出的结果和地球人不同两个文明之间开始意识到哪里出了问题。问题解决矛盾出现后双方可能通过以下方式发现坐标系差异交换基的信息地球人立刻就会发现外星人使用的基不是正交的。外星人意识到这一点后立刻根据自己的基向量在地球人的标准坐标系下的坐标计算出度规矩阵G外星人根据度规矩阵重新计算向量内积得到距离应用内积公式进而得到和地球人同样的P点距离原点的距离值是5两个文明最终就距离问题达成了一致。这里面的关键在于认识到度量矩阵G的存在。线性代数迷人的地方在于在纷繁复杂的变化下有些核心的东西是永恒不变的比如距离比如垂直比如特征向量的方向这里面似乎隐藏着某种更加本质的东西让人着迷。是否存在一种空间完全无法画出直角来在欧几里德构建平面几何时使用的五个公设中第四条公设是“所有直角都彼此相等”千年前的数学大师已经意识到了直角的绝对性几何原本的第五公设更是孕育出了一个全新类型的问题此前文明都不曾遭遇和思考过的问题这个问题最终引导人类进入了非欧几何的领地并间接导致了相对论时空观的诞生。总结宇宙没有义务满足人类对直角的审美正交性和平直性只是空间的局部近似即使空间在大尺度上是弯曲的但是对于活动范围有限的生命体来说其认识到的空间是局部可微“的可以近似看成是平直的欧式空间所以发展欧式几何来度量这个空间是文明自然而然的选择生命并不能天然的觉察到自己所在的空间是弯曲的可能生活在黑洞或者中子星附近的文明能够直观感受到非正交坐标系和非平直空间除非像前面的例子一样遇到不同文明的碰撞或者产生出像爱因斯坦那样的天才对人类的空间观念进行彻底的革新。有限尺度生命体必然首先发展欧氏几何因其与局域测量一致内部突破需爱因斯坦式天才将思想实验与数学重构结合或者外部文明的输入。实际上人类是通过自我突破完成上述认知的人类已经发现我们地球所在的宇宙空间其度规矩阵G并非单位矩阵实际上人类确实重演了例子里的一幕但扮演的角色和外星人不同。外星文明的故事教给我们的是平直空间里G≠I 只是坐标系的主观性交换基信息、补上度规矩阵分歧就能消除。而广义相对论发现的是更深一层的事实时空的度规 G不是单位矩阵不是因为人类碰巧选了一组“斜基”哪怕把局部惯性系选到最“标准”的地步大尺度上曲率仍然消不掉。前者的 G≠I 描述坐标后者的 G≠I描述空间本身。人类不是那个拿错尺子的外星人人类是那个终于发现“尺子所在的房间是弯的”的文明。对人类文明来说从局部欧氏到全局弯曲的认知跃迁花费了数千年从古希腊数学启蒙到近现代欧洲数学大爆发数百名顶级数学家的努力才算完成。在这个过程中东印度始终扮演的是可有可无的角色这个时候应该会有SB拿出四大发明永乐大典解释一切毕竟大典中记载屎都有20种吃法。参考资料黎曼曲率张量度量时空弯曲程度的最全面工具_哔哩哔哩_bilibili结束