1. 说在正文之前Day 11 到底在复习什么读到这篇文章的你大概率正处在期末周的暴风骤雨里。数分或者高数的战线拉到第十一天前面处理了极限、连续、一元函数微分学、积分学还穿插着空间解析几何的向量部分今天终于到了两个让大家又爱又恨的板块空间中的平面与直线以及多元函数的微分学基础极限、偏导数、全微分。先说个结论这两个板块放在同一天复习不是因为章节顺序刚好排到这儿而是因为它们有一个共同的认知门槛——从“一个变量”的世界切换到“多个变量”的世界。平面和直线是三维空间里最基础的几何对象而二元函数的极限、偏导数和全微分则是把微积分的语言从一维曲线推广到二维曲面。理解了这个切换你后面学重积分、曲面积分、极值问题都会顺很多。今天这篇笔记我按“几何直觉”和“代数计算”两条线穿插着写尽量把我自己在复习和考试中踩过的坑、摸索出来的判断技巧都交代清楚而不是把课本上的定义抄一遍。2. 空间中的平面与直线不只是背公式2.1 平面方程的几种写法什么时候用哪一种空间平面方程课本上给了四种形式一般式、点法式、截距式、三点式。很多同学的问题是都背下来了但拿到题目不知道用哪个。我的经验是这背后只存在一个核心判断标准——题目给了什么信息。给了一个点和法向量直接用点法式( A(x-x_0)B(y-y_0)C(z-z_0)0 )。给了三个不共线的点先叉乘求出法向量再回到点法式。给了截距比如过 ( (a,0,0) )、( (0,b,0) )、( (0,0,c) )直接用截距式 ( \frac{x}{a}\frac{y}{b}\frac{z}{c}1 )很快。如果不确定法向量就先设一般式 ( AxByCzD0 )代点解方程组。实际考试里最常见的是第一种和第二种。比如“求过点 ( P(1,2,3) ) 且垂直于平面 ( 2x-yz5 ) 的平面方程”这种题表面上是“求平面”本质上是“已知法向量”——因为垂直于已知平面说明待求平面的法向量就是已知平面的法向量 ( (2,-1,1) )。一旦识别到这一层直接点法式就出来了。再比如“求过点 ( A(1,0,0) )、( B(0,1,0) )、( C(0,0,1) ) 的平面方程”这个用截距式( xyz1 )快到你还没反应过来就写完了。但要是只给两个点再加一个平行条件比如“过两个点且平行于某直线”那就得先由两点构造一个向量再与已知直线的方向向量叉乘得到法向量。这一类题要格外小心的是向量叉乘的方向别搞反我第一次做这类题时法向量算成了相反方向结果整个方程系数全反了检查时才发现。2.2 空间直线的点向式、参数式与一般式空间直线的标准写法是点向式对称式( \frac{x-x_0}{m}\frac{y-y_0}{n}\frac{z-z_0}{p} )其中 ( (m,n,p) ) 是方向向量。参数式就是在点向式基础上令比值等于 ( t )把 ( x,y,z ) 分别写出来。我建议大家习惯性地把点向式和参数式来回切换因为考试题经常给你一个直线的一般式两个平面的交线让你求方向向量、判断位置关系。这个时候把方向向量取成两个平面法向量的叉积是最快的方法。举例已知直线 ( L ) 是平面 ( xyz1 ) 与 ( 2x-y3z0 ) 的交线要你写出参数方程。第一步求方向向量( \vec{s} (1,1,1) \times (2,-1,3) )。我实际算一遍( (1 \cdot 3 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3, 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) (4, -1, -3) )。第二步找直线上一个点令 ( z0 )联立 ( xy1 ) 和 ( 2x-y0 )解得 ( x\frac{1}{3} )、( y\frac{2}{3} )所以直线上一个点是 ( (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0) )。参数式就写为( x\frac{1}{3}4t )、( y\frac{2}{3}-t )、( z-3t )。整个过程核心动作其实就是“叉乘 解方程组”没有额外的高深技巧。这里有个细节想单独提醒把一般式转成点向式时令哪个变量为零是可以选的选的时候优先选系数简单、算起来不麻烦的。比如两条平面方程的某个变量系数直接是0那就先令这个变量为0。有人会担心“万一令 ( z0 ) 后方程组无解怎么办”那只是说明这条直线与平面 ( z0 ) 没有交点换一个变量再令就好不要死磕。2.3 位置关系平行、垂直、夹角的判断套路空间几何的题目万变不离其宗核心关系就三类线与线、线与面、面与面。判断依据全是方向向量和法向量之间的关系。线线平行方向向量成比例。线线垂直方向向量点积为0。线面平行方向向量与法向量点积为0即方向向量垂直于法向量直线躺在平面内或平行于平面。线面垂直方向向量与法向量平行成比例。面面平行法向量成比例。面面垂直法向量点积为0。这些关系用一张表格串起来会特别清晰。我当年考试前是这么整理的判断对象条件向量语言常见出错点两直线平行( \vec{s_1} \parallel \vec{s_2} )忘记检查两条直线是否重合两直线垂直( \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} 0 )异面直线也满足但没交点线面平行( \vec{s} \cdot \vec{n} 0 )还要确认直线不在平面内线面垂直( \vec{s} \parallel \vec{n} )有人误写成点积为零面面平行( \vec{n_1} \parallel \vec{n_2} )别忘了两平面可能重合面面垂直( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} 0 )与线面垂直条件记混夹角的计算套路更固定。两直线夹角、直线与平面夹角、两平面夹角核心都是先算方向向量或法向量的夹角的余弦再做调整。直线与平面夹角 ( \varphi )( 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2} )设方向向量与法向量夹角为 ( \theta )则 ( \sin\varphi |\cos\theta| )。两平面夹角 ( \theta )二面角取锐角或直角( \cos\theta \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|} )。两直线夹角同理用方向向量。注意线面夹角是“方向向量与法向量夹角”的余角所以用的是正弦而面面夹角、线线夹角直接用余弦。这是很多人丢分的地方我第一遍复习也中招了看到“线面夹角”想当然用余弦结果错得离谱。最好在公式旁边自己加一行注释“线面→正弦面面/线线→余弦”。2.4 距离公式点到平面、点到直线、异面直线距离类题目在考试里属于“看起来复杂其实就一个公式”的类型。点到平面的距离公式是 ( d \frac{|Ax_0By_0Cz_0D|}{\sqrt{A^2B^2C^2}} )这个很像二维平面里点到直线的距离公式的推广。点到直线的距离其实是“向量投影”的变体。设点 ( P )直线上一点 ( M )方向向量 ( \vec{s} )则距离 ( d \frac{|\overrightarrow{MP} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} )。理解了叉积的几何意义平行四边形的面积这个公式就不会忘。分子是平行四边形面积底边是 ( |\vec{s}| )高就是点到直线的距离非常直观。异面直线的距离公式形式相同( d \frac{|\overrightarrow{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|} )分子是混合积的绝对值几何意义是平行六面体的体积分母是底面面积高就是两条异面直线的距离。这个公式在期末中有一定概率考到但不如平面几何的距离题高频。我的建议是点到平面和点到直线的距离公式要看到题就能默写异面直线距离把原理理解清楚、公式记住就行不需要刷太多题。3. 二元函数的极限别再用一元函数的思维硬套3.1 二元极限定义里的“邻域”在说什么二元函数 ( f(x,y) ) 在点 ( (x_0,y_0) ) 处的极限定义为“对任意 ( \varepsilon 0 )存在 ( \delta 0 )使得当 ( 0 \sqrt{(x-x_0)^2(y-y_0)^2} \delta ) 时有 ( |f(x,y) - L| \varepsilon )”。和一元极限最大的区别是一元函数趋近于某点只有左右两个方向二元函数趋近于某点可以从平面上的任意方向、任意路径趋近。这个“任意路径”是二元极限的灵魂。也正因为如此判断二元极限不存在常用方法是找两条不同路径让极限值不一样而判断极限存在反而比较麻烦通常需要放缩或换元。考试里二元极限的题目绝大多数是“证明极限不存在”因为要证明存在往往要动用定义过程冗长。而“证明不存在”只要找两条路径就够了。我自己刷题时的经验是固定变量直接代入先看能不能得到一个值如果发现某个方向代入后分母为0或形式不定再考虑换路径。3.2 极限不存在的经典判定路径法所谓路径法就是让 ( (x,y) ) 沿某条特定的曲线趋近 ( (x_0,y_0) )算出极限值。若两条路径得到的极限值不同则极限不存在。最常用的路径是 ( ykx )直线路径其次是 ( yx^2 ) 等抛物线路径以及 ( x0 ) 或 ( y0 ) 这类坐标轴路径。举个例子求 ( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2y^2} )。沿 ( ykx ) 趋近( \frac{x(kx)}{x^2(kx)^2} \frac{kx^2}{x^2(1k^2)} \frac{k}{1k^2} )。极限值随 ( k ) 变化说明原极限不存在。这是最经典的例子考试如果出这道基本是送分题。但我要提醒一个细节有些函数沿任意直线路径极限都相同但沿抛物线路径就不同。比如 ( \frac{x^2y}{x^4y^2} )沿 ( ykx )( \frac{x^2(kx)}{x^4k^2x^2} \frac{kx}{x^2k^2} )当 ( x\to0 ) 时极限是0沿所有直线都是0但沿 ( yx^2 )( \frac{x^2 \cdot x^2}{x^4x^4}\frac{1}{2} )。两条路径极限不一致原极限不存在。所以我的经验是如果沿所有直线路径都得到相同极限不要急着下“极限存在”的结论先试试抛物线或更复杂的曲线路径。直线路径检验的只是线性趋近方式而趋近路径是任意的。3.3 极限存在时怎么算等价无穷小与极坐标期末考试如果想考“二元极限存在”的计算通常会出可以用一元函数极限方法处理的题目。比如 ( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^2y^2)}{x^2y^2} )令 ( t x^2y^2 )原式变成 ( \lim_{t\to0^} \frac{\sin t}{t}1 )。这就是整体换元把二元极限化成一元极限。还有一种比较常用的技巧是用极坐标令 ( xr\cos\theta )、( yr\sin\theta )则 ( (x,y)\to(0,0) ) 等价于 ( r\to0^ )这里 ( \theta ) 可以任意变化。比如 ( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2y^2} )换成极坐标( \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2}r\cos^3\theta )当 ( r\to0 ) 时这个值趋于0且不依赖于 ( \theta )所以极限为0。用极坐标时有一个陷阱不能只看“( r\to0 )”就完事还要确保表达式里不出现“( 1/0 )”型或者不依赖 ( \theta ) 的无穷大。比如 ( \frac{x}{x^2y^2} ) 换成极坐标后是 ( \frac{\cos\theta}{r} )这玩意儿随 ( \theta ) 不同且在 ( r\to0 ) 时无界说明极限不存在事实上也确实不存在。极坐标换元往往是“否定”比“肯定”好用如果换成极坐标后表达式的极限依赖于 ( \theta )或者极限不存在就能说明原极限不存在。3.4 二元连续的判断定义就够用二元函数在一点连续定义是 ( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) f(x_0,y_0) )。这个定义拆开来说就是三个条件极限存在、函数有定义、极限值等于函数值。实际做题时常遇到的是一类“分段函数在分界点处是否连续”的题。比如[ f(x,y)\begin{cases} \frac{x^2y}{x^2y^2}, (x,y)\ne(0,0)\ 0, (x,y)(0,0) \end{cases} ]要判断 ( f ) 在 ( (0,0) ) 是否连续就是算 ( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2y^2} )。用极坐标( \frac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2} r\cos^2\theta\sin\theta \to 0 )等于函数值0所以连续。这类题目几乎是一个模板先用极坐标或放缩求出极限再和函数值比较。我建议做题时先写“由极坐标可知”再把 ( r\to0 ) 的过程写清楚不要上来就设 ( ykx )因为分段函数连续性的判断最好用能严格说明极限为0的方法路径法只适合证明不存在。4. 偏导数符号、计算与高阶偏导的易错点4.1 偏导数的定义和记号到底有多少说法偏导数的定义不再赘述关键在于记号。同一个东西有这些写法[ f_x(x_0,y_0), \quad \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|{(x_0,y_0)}, \quad \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|{(x_0,y_0)} ]它们都表示固定 ( yy_0 )对 ( x ) 求导后在 ( (x_0,y_0) ) 处的值。做题时最大的困扰是题目里各种符号混用一会儿 ( f_1 )、一会儿 ( \frac{\partial z}{\partial x} )、一会儿 ( z_x )其实本质相同。我的建议是看到一个记号后先在草稿纸上统一成“对第几个变量求导”的理解不要被表象带跑。计算偏导数时核心原则就是把其他变量当常数。比如 ( f(x,y)x^2y\sin(xy) )求 ( f_x ) 时把 ( y ) 当常数得到 ( 2xy y\cos(xy) )求 ( f_y ) 时把 ( x ) 当常数得到 ( x^2 x\cos(xy) )。有一个初学者容易忽略的点如果函数中含有“整体结构”比如 ( f(x,y)g(xy) )求导时要用链式法则。比如 ( f(x,y)\sin(xy) )求 ( f_x y\cos(xy) )、( f_y x\cos(xy) )。这个属于复合函数的链式法则在偏导数中的直接体现后面还会遇到更复杂的 ( f(xy, xy) ) 形式但核心都是一样的看清内层函数和外层函数一层一层求。4.2 在一点处的偏导数用定义还是用公式判断分段函数在分界点处的偏导数必须回到定义[ f_x(0,0)\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} ]不能用求导公式因为在分界点处公式未必成立。举例[ f(x,y)\begin{cases} \frac{xy}{x^2y^2}, (x,y)\ne(0,0)\ 0, (x,y)(0,0) \end{cases} ]求 ( f_x(0,0) )用定义( f_x(0,0)\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h} )。当 ( (h,0)\ne(0,0) ) 时( f(h,0)\frac{h\cdot 0}{h^20}0 )所以极限为0。对称地( f_y(0,0)0 )。所以这个函数在原点两个偏导数都存在但它其实在原点不连续沿不同方向趋近极限值不同。这是一个经典结论偏导数存在不能推出函数连续判断连续性还是要用极限。很多同学在这里被绕晕就是因为把一元函数里“可导必连续”的直觉搬到了多元函数里结果全错。另一个经典题是[ f(x,y)\begin{cases} \frac{x^2y}{x^2y^2}, (x,y)\ne(0,0)\ 0, (x,y)(0,0) \end{cases} ]求 ( f_x(0,0) )。用定义( f_x(0,0)\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h} \lim_{h\to0}\frac{0}{h}0 )。这里虽然 ( f(h,0)0 )看起来很简单但如果你直接用公式算 ( f_x \frac{2xy(x^2y^2)-x^2y(2x)}{(x^2y^2)^2} ) 再代入 ( (0,0) )会得到分母为0的未定式做不出结果。这就是定义法和公式法的差异。在分段函数的分界点处求偏导一定要用定义这个经验能帮你省下大量纠结时间。4.3 高阶偏导数与混合偏导数的次序问题高阶偏导数里的混合偏导 ( f_{xy} ) 和 ( f_{yx} ) 的关系是很多人的知识盲区。结论是如果 ( f_{xy} ) 和 ( f_{yx} ) 在点 ( (x_0,y_0) ) 都连续那么它们相等。这就是混合偏导数与求导次序无关的充分条件。考试时通常题目给的函数都满足连续性条件所以 ( f_{xy}f_{yx} ) 可以直接用但如果题目特意说“讨论是否相等”那就必须实际计算不能想当然。做题时要注意二阶偏导的记号顺序。( f_{xy} ) 表示先对 ( x ) 求偏导再对 ( y ) 求偏导。有些教材习惯反着写我建议大家每次做题前先确认教材的定义不然算对了写错符号白丢分。我举一个需要小心计算的例子( f(x,y)x^2e^y y\sin x )。先求 ( f_x2xe^y y\cos x )( f_yx^2e^y\sin x )。然后 ( f_{xy} )对 ( f_x ) 再对 ( y ) 求( f_{xy}2xe^y\cos x )( f_{yx} )对 ( f_y ) 再对 ( x ) 求( f_{yx}2xe^y\cos x )。两者一致验证了连续性条件下的相等。但有些函数算起来项多容易漏项或抄错指数我建议每算完一步看一眼变量符号是否对齐比如 ( f_{xy} ) 结果中必须同时出现 ( x ) 和 ( y ) 的项如果发现某个变量完全消失了往往说明算错了。4.4 复合函数的偏导链式法则的树形图复合函数求偏导是期末考试的大户通常以“设 ( zf(u,v) )其中 ( u\phi(x,y) )、( v\psi(x,y) )求 ( \frac{\partial z}{\partial x} )、( \frac{\partial z}{\partial y} )”的形式出现。公式是[ \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} ]这个公式本质上是一条“链”从 ( z ) 到 ( x ) 经过的所有路径之和。我在实际做题时习惯画一个树形图( z ) 在顶端下一层是 ( u ) 和 ( v )再下一层是 ( x ) 和 ( y )然后一条路径一条路径地写。这个方法虽然笨但在处理三层复合时特别保险。举个例子设 ( zf(xy, xy) )其中 ( f ) 是二元可微函数求 ( \frac{\partial z}{\partial x} )。令 ( uxy )、( vxy )则[ \frac{\partial z}{\partial x} f_u(u,v)\cdot 1 f_v(u,v)\cdot y ]注意这里 ( f_u ) 写的是 ( f_1 )对第一个变量求导不要把它误写成 ( \frac{\partial f}{\partial x} )因为 ( f ) 并没有直接依赖 ( x )。这是很多同学第一遍做题时最大的心理障碍明明答案是 ( f_1 y f_2 )为什么没有 ( x ) 或者 ( y ) 的直接项就是因为 ( f ) 通过 ( u,v ) 间接依赖 ( x )自变量只有 ( x ) 和 ( y ) 的“折射”没有直接依赖。考试还常考“中间变量更多”的题比如 ( zf(x, y, x^2y^2) )。这个时候对 ( x ) 求偏导时要注意第一项“直接依赖 ( x )”的路径是 ( f_1 )第二项“通过第三个变量依赖 ( x )”的路径是 ( f_3 \cdot 2x )。所以结果要写成 ( f_1 2x f_3 )中间那项没有 ( x ) 的路径就不写。这种题最容易犯的错是“重复计数”或者“漏项”我的建议是先画树形图数一数一共有几条路径再开始写式子。5. 全微分概念辨析与计算套路5.1 可微的定义到底在说什么二元函数 ( zf(x,y) ) 在点 ( (x_0,y_0) ) 处可微是指存在常数 ( A,B )使得全增量可以表示为[ \Delta z A\Delta x B\Delta y o(\rho) ]其中 ( \rho\sqrt{(\Delta x)^2(\Delta y)^2} )。如果可微则 ( Af_x(x_0,y_0) )、( Bf_y(x_0,y_0) )且全微分为[ dz f_x(x_0,y_0)dx f_y(x_0,y_0)dy ]这个定义的理解难点在于“( o(\rho) )”这一项。简单来说它代表一个比 ( \rho ) 更快趋于0的误差项不会影响一阶近似。如果用生活类比一元函数的微分相当于“用切线近似曲线”二元函数的全微分就是“用切平面近似曲面”。( dx,dy ) 是两个方向的微小变化( f_x dx f_y dy ) 对应高度方向的变化这个近似在 ( \rho ) 足够小时足够准。判断可微最常用的手段是先看偏导数是否存在如果存在再验证[ \lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z - f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\rho} 0 ]如果极限为0则可微否则不可微。5.2 连续、可偏导、可微之间的关系网这张关系网我当年花了不少功夫才完全理清。整理成图就是可微 → 连续因为全增量趋于0。可微 → 偏导数存在因为 ( Af_x )、( Bf_y ) 本身就是偏导数。偏导数存在 ≠ 连续前面举的函数 ( f(x,y)\frac{xy}{x^2y^2} ) 在原点就是反例两个偏导都存在但函数不连续。连续 ≠ 可微函数连续但偏导数不存在比如锥面 ( f(x,y)\sqrt{x^2y^2} )或者偏导数存在但不可微。偏导数存在且偏导数连续 → 可微这是最常用的充分条件但注意它不是必要条件存在偏导数连续但不成立但函数仍然可微的例子只是考试很少出。我强烈建议大家在笔记本上画一个箭头图偏导数连续 → 可微 → 连续可微 → 偏导数存在偏导数存在 ⇏ 连续连续 ⇏ 可微考试题经常这么考给你一个分段函数问“在原点是否连续、偏导是否存在、是否可微”。这种题是一环套一环的你必须依次判断。我的做题顺序是先算连续性用极坐标或放缩再用定义算偏导最后用可微定义验证。千万不要先入为主地用公式求导因为在分界点公式不适用。5.3 全微分的计算显式、隐式都要熟练如果题目直接给显式函数比如 ( zx^2y\ln(xy) )求全微分就是先求 ( z_x ) 和 ( z_y )然后写 ( dzz_x dxz_y dy )。这属于基础操作问题在于别漏项或者抄错符号。麻烦一点的是隐函数形式的全微分。比如方程 ( F(x,y,z)0 ) 确定了 ( zz(x,y) )要求 ( dz )。方法有两种第一种是公式法( \frac{\partial z}{\partial x}-\frac{F_x}{F_z} )、( \frac{\partial z}{\partial y}-\frac{F_y}{F_z} )然后写全微分。第二种是直接对 ( F(x,y,z)0 ) 两边取微分用微分形式不变性[ F_x dx F_y dy F_z dz 0 ]然后解出 ( dz -\frac{F_x}{F_z}dx - \frac{F_y}{F_z}dy )。这种方法实际上和公式法殊途同归但我觉得第二种更“直接”因为它不走偏导数的弯路直接得到全微分。如果题目只让求全微分用第二种更快如果题目让求偏导数用第一种更顺。举一个经典的例子设 ( e^z xyz )求 ( dz )。先构造 ( Fe^z-xyz0 )则 ( F_x-yz )、( F_y-xz )、( F_ze^z-xy )。于是[ dz -\frac{F_x}{F_z}dx - \frac{F_y}{F_z}dy \frac{yz}{e^z-xy}dx \frac{xz}{e^z-xy}dy ]检查一下( e^z-xy ) 这个分母其实就是 ( z(xy)-xy xy(z-1) )有时候题目会把结果化成含 ( z ) 的表达式保留 ( e^z ) 也是可以的关键是别把负号搞丢。5.4 一个易错的全微分题目分段函数是否可微我们来看一道完整的分段函数是否可微的题目这类题在期末考试中出现频率很高。设[ f(x,y)\begin{cases} \frac{x^2y}{x^2y^2}, (x,y)\ne(0,0)\ 0, (x,y)(0,0) \end{cases} ]判断 ( f ) 在 ( (0,0) ) 是否可微。第一步算偏导数。用定义( f_x(0,0)\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}\lim_{h\to0}\frac{0}{h}0 )同理 ( f_y(0,0)0 )。第二步验证可微定义。若可微则必须有[ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2k^2}} 0 ]代入得[ \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\frac{h^2k}{h^2k^2}}{\sqrt{h^2k^2}} \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{h^2k}{(h^2k^2)^{3/2}} ]观察这个极限分子是3次项分母是整个的3/2次方量级上分子似乎更快趋于0。我们用极坐标令 ( hr\cos\theta )、( kr\sin\theta )则[ \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^3}\cos^2\theta\sin\theta ]极限值不唯一依赖 ( \theta )说明极限不存在所以原函数在原点不可微。这道题完整展示了“偏导数存在但不可微”的情况。我当年第一次做这个题时一度以为偏导存在且极限为0就可微结果差在这里栽了跟头。判断可微性的关键步骤永远是最外面那层极限是否真的为0而不是偏导数算出来是什么。6. 一份小型的实战演练五个必刷题型6.1 题型一已知平面和直线求交点或位置关系给一个平面 ( 2x-yz6 ) 和直线 ( \frac{x-1}{2}\frac{y2}{-1}\frac{z-3}{1} )判断位置关系并求交点如果存在。先把直线写成参数式( x12t )、( y-2-t )、( z3t )。代入平面( 2(12t)-(-2-t)(3t)6 )即 ( 24t2t3t6 )得到 ( 76t6 )( t-\frac{1}{6} )。交点是 ( (1-\frac{1}{3}, -2\frac{1}{6}, 3-\frac{1}{6}) (\frac{2}{3}, -\frac{11}{6}, \frac{17}{6}) )。如果代入后方程无解说明直线与平面平行如果恒成立说明直线在平面内。这类题核心就是参数化代入。我的建议是拿到直线先写参数式不要直接硬解联立方程。6.2 题型二平面束方程的应用有些空间几何题可以用“平面束”来简化。比如求过直线 ( L )两个平面的交线且满足额外条件的平面方程可以设为[ A_1xB_1yC_1zD_1 \lambda(A_2xB_2yC_2zD_2)0 ]这个形式表示的平面族都包含直线 ( L )。然后利用额外条件定出 ( \lambda )。我举一个简单的例子求过直线 ( L:\begin{cases}xyz1\ 2x-y3z0\end{cases} ) 且垂直于平面 ( x2y-z2 ) 的平面方程。设平面束方程为 ( xyz-1 \lambda(2x-y3z)0 )即 ( (12\lambda)x(1-\lambda)y(13\lambda)z-10 )。法向量 ( \vec{n}(12\lambda, 1-\lambda, 13\lambda) )。要垂直于已知平面则 ( \vec{n} \cdot (1,2,-1)0 )即 ( (12\lambda)\cdot1(1-\lambda)\cdot2(13\lambda)\cdot(-1)0 )。展开( 12\lambda2-2\lambda-1-3\lambda2-3\lambda0 )得 ( \lambda\frac{2}{3} )。所以平面方程为 ( (1\frac{4}{3})x(1-\frac{2}{3})y(12)z-10 )即 ( \frac{7}{3}x\frac{1}{3}y3z-10 )乘以3得 ( 7xy9z3 )。平面束这个方法很实用因为它把“过定直线”这个条件统一成“一个参数”的形式不用先求交线和方向向量。但注意平面束方程有时会漏掉那个被加进来的平面本身即 ( \lambda\to\infty ) 的情况如果题目所求平面恰好是第二个平面就要单独检验。6.3 题型三分段函数在分界点的连续性、偏导数与可微性综合判断这就是 5.4 节那道题的同款题型。我建议把做题流程固定下来形成肌肉记忆用极坐标或放缩算函数在分界点的极限判断连续性。用偏导数定义求 ( f_x(x_0,y_0) ) 和 ( f_y(x_0,y_0) )。验证可微定义中的极限是否为0。三个步骤缺一不可。如果步骤1中极限不存在直接说不可微因为可微必连续不用做后面的步骤。如果步骤2中偏导数不存在也不可能可微同样可以停止。6.4 题型四求全微分或证明某个表达式是某个函数的全微分有一类题不是“给函数求全微分”而是“验证某个表达式是否为某个函数的全微分”。比如验证 ( P(x,y)dxQ(x,y)dy ) 是否为全微分在多元函数微分学里通常的判定条件是 ( \frac{\partial P}{\partial y}\frac{\partial Q}{\partial x} )。这个条件本质上是混合偏导相等的推论。但要注意这只是必要条件在单连通区域加上一定条件后才充分。期末考题一般设定在简单区域用这个判定足够。如果判定为全微分题目还可能让你求原函数 ( u(x,y) )使得 ( duPdxQdy )。做法是先对 ( x ) 积分[ u(x,y)\int P(x,y)dx \phi(y) ]然后对 ( y ) 求导与 ( Q ) 比较解出 ( \phi(y) )积分得到 ( \phi(y) )。我举个简化例子验证 ( (2xyy^2)dx(x^22xy)dy ) 是全微分并求原函数。先验证( \frac{\partial}{\partial y}(2xyy^2)2x2y )( \frac{\partial}{\partial x}(x^22xy)2x2y )相等。然后积分对 ( x ) 积分 ( 2xyy^2 ) 得 ( x^2yxy^2\phi(y) )。对 ( y ) 求导得 ( x^22xy\phi(y) )应与 ( x^22xy ) 相等所以 ( \phi(y)0 )( \phi(y)C )。原函数为 ( x^2yxy^2C )。这类题在“全微分”的考试里算是标准题型。6.5 题型五隐函数求偏导或全微分隐函数题型在期末中的形式主要是两种一种是由 ( F(x,y,z)0 ) 确定 ( zz(x,y) )求 ( z_x,z_y )另一种是由方程组确定的隐函数涉及雅可比行列式的概念但期末通常只考到单方程形式。单方程形式的做题步骤我前面已经演示过。注意点有两个一是分母 ( F_z ) 可能为0这时候公式失效需要回到隐函数存在定理的条件去讨论但期末一般不会出这种极端情况二是结果中如果含有 ( z )不要试图消去因为它本来就是隐函数保留带 ( z ) 的表达式是正常的。7. 常见错误与考场避坑清单这些坑是我自己以及身边同学反复踩过的整理成清单考前过一遍比多做三道题更有用。7.1 混用“偏导存在”和“可微”这是最高频的错误。很多同学算出 ( f_x(0,0)0 )、( f_y(0,0)0 )就直接说“偏导存在所以可微”完全跳过了可微定义的验证。正确的逻辑链是偏导存在是可微的必要条件不是充分条件。只有在偏导数连续时才能直接推出可微。所以做题时要么验证可微定义要么验证偏导数的连续性千万不要画等号。7.2 路径法判断极限不存在时路径选择太单一只沿 ( x ) 轴和 ( y ) 轴算两条路径有时候会得到同样的极限于是误判极限存在。正确的做法是先沿直线路径试如果都有同一个极限再沿抛物线路径试甚至沿更复杂的曲线试。如果所有尝试的路径极限都一样只能说“极大可能极限存在”再想办法严格证明。千万不要用“我试了几条路径都相同”来当作极限存在的证明。7.3 平面束方程漏掉特殊情况平面束方程 ( \pi_1\lambda\pi_20 ) 中如果最终答案应该是第二个平面本身这个参数 ( \lambda ) 无法用有限值表示。所以求出 ( \lambda ) 后建议把 ( \lambda ) 代回去同时单独检验一下第二个平面是否满足题意。虽然这种情况出现频率不高但一旦出现就是整道题全错。7.4 空间直线参数化时选错方向向量把直线的一般式转参数式方向向量要取两个平面法向量的叉积这个没错但叉积的运算顺序会影响方向向量正负。比如取 ( \vec{n_1}\times\vec{n_2} ) 得到 ( (4,-1,-3) )如果交换顺序得到 ( (-4,1,3) )方向相反。参数式写出来直线还是一样的但如果题目要求与某个向量成比例符号错了会影响后续判断。我建议在草稿上统一用 ( \vec{n_1}\times\vec{n_2} ) 的顺序不要今天顺写明天反写。7.5 复合函数求偏导时漏路径或重复路径树形图虽然笨但确实能救命。比如 ( zf(xy, x^2y^2) ) 求 ( \frac{\partial z}{\partial x} )路径只有两条( f_1 \cdot y ) 和 ( f_2 \cdot 2x )。但是有人会把 ( f_1 ) 误写成 ( f_x )还多写一项 ( f_1 ) 直接对 ( x ) 求这就重复计数了。我的建议是在树形图上标注好每条路径然后逐个变量对照确保每个依赖关系只被计数一次。8. 按我个人经验这章复习时间怎么分配如果你只剩一天时间复习这两个板块我建议作如下分配先用一小时把平面与直线的公式和典型题练一遍重点练“一般式转参数式”和“位置关系判断”再用一个半小时处理二元极限的典型题路径法、极坐标法以及分段函数的偏导数和可微性判断最后半小时做一份包含5-6道综合题的小卷子模拟一下考场的计算节奏。如果时间更充裕可以把重点放在“分段函数的连续性、偏导、可微综合题”上因为这类题最容易把三个知识点串起来考也是期末试卷的常客。我自己的体会是做这一类综合题最大的收获不是记住某个公式而是学会“按顺序判断”——先极限、再偏导、后可微这个顺序一旦固定遇到任何分段函数题都不慌。还有一个小技巧考前把本文第 2.3 节的表格遮住自己默写一遍“判断位置关系”的条件。能默写出来说明这一块基本过关了默写不出来就多花十分钟复习一下。这种方法比反复看课本有效得多。最后说一点题外话高数复习到第十一天你可能会觉得内容越来越多、越来越抽象。但换个角度看空间几何和多元微分之间其实是相通的——平面方程中的法向量就是你在求偏导时那个“梯度”的雏形全微分里的 ( dzf_xdxf_ydy )本质上就是在说“高度变化量可由两个方向上的变化率线性叠加”。把这些联系想通了你记住的就不只是公式而是一张知识网。希望今天这篇复习笔记能帮你把这张网再织牢一点。