线性方程组解判定总梳理齐次 非齐次考研线代核心nnn未知数的个数AAA系数矩阵(A,b)(A,b)(A,b)就是增广矩阵A‾\overline AA一、非齐次线性方程组Axb\boldsymbol{Axb}Axb{r(A)≠r(A,b) ⟺ 无解r(A)r(A,b) ⟺ 有解{r(A)r(A,b)n ⟺ 有唯一解r(A)r(A,b)n ⟺ 有无穷多解 \begin{cases} r(A) \neq r(A,b) \iff \textbf{无解} \\ r(A)r(A,b) \iff \textbf{有解} \begin{cases} r(A)r(A,b)n \iff \textbf{有唯一解}\\ r(A)r(A,b)n \iff \textbf{有无穷多解} \end{cases} \end{cases}⎩⎨⎧r(A)r(A,b)⟺无解r(A)r(A,b)⟺有解{r(A)r(A,b)n⟺有唯一解r(A)r(A,b)n⟺有无穷多解二、齐次线性方程组Ax0\boldsymbol{Ax0}Ax0永远至少有零解齐次就是常数项全部等于0一定存在x0\boldsymbol x\boldsymbol 0x0这组解{r(A)n ⟺ 仅有零解r(A)n ⟺ 有无穷多非零解有基础解系 \begin{cases} r(A)n \iff \textbf{仅有零解}\\ r(A)n \iff \textbf{有无穷多非零解有基础解系} \end{cases}{r(A)n⟺仅有零解r(A)n⟺有无穷多非零解有基础解系补充知识点秩判断解的情况方程组类型秩的关系解的情况备注非齐次AxbAxbAxbr(A)≠r(A,b)r(A)\neq r(A,b)r(A)r(A,b)无解化简出现矛盾方程010101非齐次AxbAxbAxbr(A)r(A,b)nr(A)r(A,b)nr(A)r(A,b)n唯一解方阵时等价于$非齐次AxbAxbAxbr(A)r(A,b)nr(A)r(A,b)nr(A)r(A,b)n无穷多解存在n−rn-rn−r个自由未知量齐次Ax0Ax0Ax0r(A)nr(A)nr(A)n只有零解没有非零解方阵等价于$齐次Ax0Ax0Ax0r(A)nr(A)nr(A)n无穷多非零解基础解系含n−rn-rn−r个线性无关解向量✅ 考研易错对比齐次方程组不会无解最少都有零解只分只有零解 / 有无穷多非零解。非齐次方程组有可能无解前提系数矩阵秩 ≠ 增广矩阵秩。方阵特殊结论AAA是nnn阶方阵∣A∣≠0|A|\neq0∣A∣0齐次只有零解非齐次有唯一解∣A∣0|A|0∣A∣0齐次有无穷多非零解非齐次无穷多解 OR 无解两种都有可能一句话口诀齐次秩满只有零解秩不满无穷多解非齐次秩相等才有解秩等未知数个数唯一解秩小未知数个数无穷解秩不等直接无解。