为什么信号在一个域离散会造成另一个域的周期延拓？——从泊松求和公式严格推导

1. 背景：从直观到严格在数字信号处理中，采样是最基本的操作之一。工程上通常将其理解为“在等间隔时刻读取连续信号的幅值”，但若要回答一个更深层的问题——为什么时域的离散化会导致频域的周期延拓？——仅靠直观描述并不足够。严格的数学表述是：一个域的离散化等价于在该域上乘以一个狄拉克冲激串（Dirac comb）。由傅里叶变换的卷积-乘积对偶性质，一个域的乘法对应另一个域的卷积；而冲激串的傅里叶变换仍然是冲激串，因此卷积结果必然表现为原频谱的周期性复制，即周期延拓。在这一推导链中，泊松求和公式（Poisson Summation Formula, PSF）是确定延拓幅度与周期的核心工具。下面先给出该公式的一种标准证明，再沿其主线完成采样导致的频谱周期延拓推导。下图展示了泊松求和公式的傅里叶级数推导思路。2. 泊松求和公式的傅里叶级数证明考虑将信号xˉ(t)\bar{x}(t)xˉ(t)以周期TTT进行周期延拓：∑k=−∞∞xˉ(t+kT)=g(t),g(t+T)=g(t). \sum_{k=-\infty}^{\infty} \bar{x}(t+kT) = g(t), \qquad g(t+T) = g(t).k=−∞∑∞​xˉ(t+kT)=g(t),g(t+T)=g(t).由于g(t)g(t)g(t)是周期为TTT的函数，可展开为傅里叶级数g(t)=∑k=−∞∞akexp⁡(j2πkTt), g(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \exp\left(j \frac{2\pi k}{T} t\right),g(t)=k=−∞∑∞​ak​exp(jT2πk​t),其中傅里叶系数为ak=1T∫0Tg(t)exp⁡(−j2πkTt)dt. a_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} g(t) \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} t\right) dt.ak​=T1​∫0T​g(t)exp(−jT2πk​t)dt.将g(t)=∑nxˉ(t+nT)g(t) = \sum_{n} \bar{x}(t+nT)g(t)=∑n​xˉ(t+nT)代入系数表达式：ak=1T∫0T(∑n=−∞+∞xˉ(t+nT))exp⁡(−j2πkTt)dt=1T∑n=−∞+∞∫0Txˉ(t+nT)exp⁡(−j2πkTt)dt. \begin{aligned} a_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \bar{x}(t+nT) \right) \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} t\right) dt \\ = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{T} \bar{x}(t+nT) \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} t\right) dt. \end{aligned}ak​​=T1​∫0T​(n=−∞∑+∞​xˉ(t+nT))exp(−jT2πk​t)dt=T1​n=−∞∑+∞​∫0T​xˉ(t+nT)exp(−jT2πk​t)dt.​令t′=t+nTt' = t + nTt′=t+nT，则积分限变为nTnTnT到(n+1)T(n+1)T(n+1)T：ak=1T∑n=−∞+∞∫nT(n+1)Txˉ(t′)exp⁡(−j2πkT(t′−nT))dt′=1T∑n=−∞+∞∫nT(n+1)Txˉ(t′)exp⁡(−j2πkTt′)dt′=1T∫−∞+∞xˉ(t′)exp⁡(−j2πkTt′)dt′=1Txˉ^(2πkT). \begin{aligned} a_k = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{nT}^{(n+1)T} \bar{x}(t') \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} (t' - nT)\right) dt' \\ = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{nT}^{(n+1)T} \bar{x}(t') \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} t'\right) dt' \\ = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} \bar{x}(t') \exp\left(-j \frac{2\pi k}{T} t'\right) dt' \\ = \frac{1}{T} \hat{\bar{x}}\left(\frac{2\pi k}{T}\right). \end{aligned}a