#MCS #Mathematics #Maths #Yibo #翊博 #翊博在这里 #菲尔兹奖 #yibohere高等数学/线性代数概率论 精简笔记一、排列组合A排列有序调换两个元素算不同方案 $$A_n^m\frac{n!}{(n-m)!}n(n-1)\dots(n-m1)$$C组合无序调换两个元素是同一种方案 $$C_n^m\frac{A_n^m}{m!}\frac{n!}{m!(n-m)!}$$判断口诀交换选出对象结果不一样→A一样→C 关系$A_n^mC_n^m\cdot A_m^m$二、一元函数临界点、驻点、极值点驻点函数可导且 $f(x)0$。切线水平。临界点更大集合定义域内满足 $\boldsymbol{f(x)0}$或者导数不存在函数要有定义驻点 $\boldsymbol{\subseteq}$ 临界点极值点该点附近函数值局部最大/最小极值点一定是临界点临界点不一定是极值点。✅判别方法第一充分条件通用看临界点左右一阶导数符号变号则为极值点同号不是极值点第二充分条件仅驻点可用$f(x_0)0$$f(x_0)0$极小值点$f(x_0)0$极大值点$f(x_0)0$失效改用一阶导数检验三、多元函数梯度 临界点二元函数 $(f(x,y))$ 梯度$\boldsymbol{\nabla (f(x,y))}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$多元临界点一阶偏导数全部为0或者至少一个偏导数不存在。梯度 $\nabla f\boldsymbol 0$ 就是驻点。四、集合补集全集$U$中集合$A$的补集 $\complement_U A$高中离散数学常用$\boldsymbol{A^C},\bar A,\sim A$ $$A^C{x|x\in U,x\notin A}$$ 德摩根定律 $$(A\cup B)^CA^C\cap B^C,\quad (A\cap B)^CA^C\cup B^C$$五、牛顿迭代法数值求根 优化1牛顿–拉夫森法求方程 $(f(x)0)$ 的根迭代式$\displaystyle x_{k1}x_k-\frac{f(x_k)}{f(x_k)}$ 思想切线近似二阶收敛2最优化牛顿法求函数极小值$\nabla f0$$$\boldsymbol{x}_{k1}\boldsymbol x_k - [\nabla^2 f(x_k)]^{-1}\nabla f(x_k)$$ $\nabla^2f$海塞Hessian矩阵需要二阶偏导衍生改进方法阻尼牛顿法改进牛顿牛顿方向 线搜索选取步长$\lambda$保证函数值下降稳定性提升拟牛顿法 Quasi-Newton不用Hessian只用梯度构造近似矩阵BFGS、DFP超线性收敛做题牛顿法两步迭代结果要求最简分数。六、线性方程组高斯消元核心秩方程组 $A\boldsymbol x\boldsymbol b$$A$系数矩阵$((r(\overline A)))$系数矩阵的秩独立方程数量$\overline A(A|b)$增广矩阵$r(\overline A)$带上常数项后的秩$n$未知数总个数✅解判定定理必考$((r(\overline A)))\neq r(\overline A)$无解出现矛盾等式$(01)$$((r(\overline A)))r(\overline A)n$唯一解$((r(\overline A)))r(\overline A)n$无穷多解自由未知量个数 $\boldsymbol{n-((r(\overline A)))}$齐次方程组 $A\boldsymbol x\boldsymbol 0$一定有解只比较$((r(\overline A)))$和$n$ $((r(\overline A)))n$只有零解$((r(\overline A)))n$无穷多非零解通解、特解特解一组确定的满足方程的解无任意常数通解包含全部解带任意常数非齐次$\boldsymbol{通解 一个特解 对应齐次方程组的通解}$ 向量形式$\boldsymbol x\boldsymbol\xi^*t\boldsymbol\xi$$t\in\mathbb R$高斯消元操作只允许初等行变换交换两行 $r_i\leftrightarrow r_j$某行乘非零常数 $r_i\times k$某行倍数加到另一行$r_ikr_j$ 目标化为行阶梯形判断秩行最简形直接读出解。七、概率论独立事件独立事件过去试验结果不影响下一次概率。 例子公平硬币每次抛掷独立。连续9次正面下一次反面概率依然$\boldsymbol{\dfrac12}$ ❌赌徒谬误误以为连续出现一面之后另一面概率变大错误。简短速记版考前看有序A无序C临界点导0或不可导驻点是导0的临界点极值一定是临界点牛顿法切线迭代优化牛顿需要海塞矩阵阻尼牛顿加线搜索拟牛顿不用二阶导方程组看两个秩秩不等无解秩等于未知数唯一解秩小无穷多解通解特解齐次通解独立试验无记忆历史不改变下一次概率你想要我把这份笔记压缩成填空版留空用来自测吗