第十二夜 · 一个数学学渣，用计算机解奥数题前几天，一位读者在微信上给我留言，说，我感觉你的数学也很厉害。我盯着这句话看了很久。放在从前，我大概会客气两句，说不敢不敢。可这一回，我想坦白得彻底一些。我是一个数学学渣。这四个字不是我谦虚，是有根据的。四岁那年，数学是一首儿歌。一像蜡笔，二像小鸭，三像耳朵，0 像鸡蛋，小朋友们快来看，数学与你把手牵。那时它是我最喜欢的画。小学五年级，数学 98 分。可就是那一年，爱的裂痕开始了。分数没有垮，快乐先垮了。初一下学期期末统考，59 分，一分之差不及格，我第一次为数学落泪。初三的寒假，我和外婆在台灯下挑灯苦战几何。一张张草图，一行行等式，最后也没能填平那条鸿沟。中考，123 分，是代数换来的。中考结束的那个暑假，我偶然读到一本《从一到无穷大》，然后在日记里写下一句话，从勾股定理到杨辉三角，从幻方到数独，从鸡兔同笼到韩信点兵。那时我不知道，这句话里藏着后来两夜的题目。高三，立体几何单元考，29 分。我向数学宣战。高考数学，98 分，满分 150。两个 98，隔着我的整个中学时代。第一个 98，是快乐的讣告。第二个 98，是战争的终战书。大学高数，作业本上一个又一个 100 分。我看着那些一百分想，原来你没变，变的是我自己。2020 年，考研成绩公布，总分 248，数学特别低，过线无望。我报考的那所学校，是外婆读过师范的那所学校。那一场考试，死在数学上。把这些分数一笔一笔列出来，像不像一份屈辱史年表？我原本以为写完会崩。写完发现，它们排成一列之后，反而安静了。年表里有两封信。2017 年 5 月，大学高数快结课时，我写过一封告别信，信的结尾是谈判。我对高等数学说，我们还是分手吧，你有你的高深，我一辈子无法企及。它说，好，那我们考研时再见。2019 年 12 月，考研结束当天，我又给它写了一封信，这回是告白。我在信里说，既然无法用理性的智慧穷尽你的世界，那么我就用感性的眼光去了解你。信的落款是八个字，你所看不起的学渣。2020 年 2 月，回执来了，我给它起名叫《经历过风雨，未必见彩虹》。总分 248，数学没有过线。信里有句话我抄在这里，有时候 100 句励志的宣言，抵不过一个冷冰冰的分数。还有一句更疼的，发现了那个一度曾经让我厌恶的数学学科，背后难以言说的美丽。虽然那份美丽我无法理解和超越。无法理解和超越。这七个字，我背了六年。后来的一年里，我读苏东坡，读陆游，读回首向来萧瑟处，也无风雨也无晴。再后来，我成了一名软件工程师。再再后来，我开始写这本夜话，逐夜把算法讲成故事。写到现在，第十一夜讲完了韩信点兵，我忽然停下来，发现了两件事。我数了数，从四岁那首儿歌算起，数学在我心里住了近30年。考场上它陪了我十年，心里的这近30年，它一天都没有离开过。我写了三封告别信，2017 一封，2019 一封，高考后还有一首十不见的诗。可数学一封都没有回过再见。另外还有一件是我发现写了这么多夜，我还在用算法解奥数题。扑克牌，汉诺塔，蜗牛爬井，韩信点兵。难道计算机真的只能做奥数题吗？我把这个问题也拿去问了 AI。它没有安慰我，它给我讲了一个词的身世。computer，计算机，这个词 1613 年第一次出现在印刷品里，本义不是机器，是人，是受雇做计算的人。天文台里成排坐着算星表的，叫 computer；曼哈顿计划里算弹道的，也叫 computer。数学史上，执行这一环本来就外包出去，先外包给人肉，1936 年之后，图灵把它外包给了机器。所以一个工程师用计算机解数学题，不是自我补偿，是回到了这门学科本来的分工，人负责提问和判断，机器负责执行。学渣当年输掉的，从来不是思想，是执行的流畅度，而考试偏偏只考执行。我说，可我总疑心，这种飞起的感觉是你的幻觉，是你在增强我的能力。它说，你的怀疑有一半是真的。纸笔推积分的能力没有回来，永远不会回来。剩下的一半，用判据验，幻觉的特征是撤掉源头就消失。把 AI 撤走，那些 Java 文件还在硬盘上，javac 一跑，答案照样出来。撤不掉的就不是幻觉，是杠杆。杠杆不增加你的力气，但它撬动的重量是真的。我想了想，又抛给它一个问题。那这本书的边界呢？从头到尾都在解奥数题，计算机只能做奥数题吗？它说，有一个四百年前的同行可以回答你。1592 年，明代程大位写了一本书，叫《算法统宗》，将近六百道题，全是百僧分馍这个量级的小题，没有一道工业算法。可它畅销三百年，东传日本，喂饱了整个东亚的商业数学。小题不是罪，小题是思想的最小样本。工业算法是同一批思想加上工程约束的放大版，不是另一门宗教。我服了。因为《算法统宗》这四个字里，藏着的正是我这本书想做的事。他用珠算口诀包装数学，给明代的商贾。我用故事包装算法，给今天的初学者。我们隔了430年，写的是同一类书。话说回来了。学渣解奥数题，到底怎么解？拿一道祖传的题当例子。孙子算经卷下第三十一题，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。鸡兔同笼，奥数启蒙的第一座大山，我当年就是在这座山下第一次学会自卑的。标准的学霸走法叫假设法，假设全是鸡，脚会少算多少，再用差值除回来。这步很聪明，聪明到我当时怎么也想不通，为什么假设全是鸡之后，多出来的脚就该分给兔子。学渣的走法没有这么聪明，只有一条，把所有可能都试一遍。笼子里一共 35 个头，那么鸡的数量只可能在 0 到 35 之间。一种一种试。鸡 0 只兔 35 只，脚 140，多了。鸡 1 只兔 34 只，脚 138，还多。一路试下去，试到第 24 种可能的时候，脚正好 94。publicclassNight12ChickenRabbit{// 孙子算经卷下原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。// 学霸的走法是假设法，一步到位；学渣的走法是枚举，// 把每一种「有多少只鸡」的可能性全部试一遍，机器一眨眼，诚实得像小学生。publicstaticvoidmain(String[] args){intheads=35;intfeet=94;for(intchicken=0; chicken <= heads; chicken++) {intrabbit=heads - chicken;// 头数钉死兔数，院墙同款if(2* chicken +4* rabbit == feet) { System.out.println("雉 "+ chicken +" 只，兔 "+ rabbit +" 只"); } } System.out.println("验足："+ (2*23+4*12)); } }雉 23 只，兔 12 只。顺便说一句，这道题和第十一夜的物不知数出自同一本书，《孙子算经》，一家出的两道题，一道给了中国剩余定理，一道给了奥数启蒙。而枚举这个笨办法，从第六夜的蜗牛爬井一路用到今夜，从没让我失望过。它不聪明，但它诚实。聪明是压缩的，一步到位；枚举是展开的，一步不省。机器不怕展开，一秒钟展开一万步。所以学渣拿到计算机，等于拿到了一台把笨办法的执行效率放大一万倍的机器。还有一个旧伤，也要在这一夜做了结。高二下学期刚学立体几何的时候，我不会画正方体的透视图。当高中老师在黑板上画出一整个空间坐标系的时候，我的感觉是，一个平面直角坐标系被棍子捅穿了。因为我看不到三维，我只能看到二维。右边的正方体，在你眼里是一个有深度的立体。在我眼里，它只有一个正面，一个方方正正的正方形。后来我父亲从医院带来废弃的 X 光片，半透明的胶片，他用牙签扎了一个小长方体，让我拿在手里真实地旋转，看里面真实的棱。可我还是看不见那条穿越整个正方体的体对角线。因为牙签插不进去，插进去就穿了。那道立体几何我考了 29 分。宣战，惨败，梦魇。这个故事听起来像是一个空间想象力弱到极致的人的不甘，其实不是。多年之后我才发现，我的病因精确得可以写进病历，我看不到三维，不是脑子里缺一根弦，是黑板上缺一个维度。黑板是静态的，无法旋转，无法闪烁。二维的纸装不下三维的真理，这不是我的错，是媒介的错。那么媒介变了之后呢？后来我在计算机里，给一个棱长为 2 的正方体切下角上的四个点，输入坐标，A 是原点，B、C、D 分别在三根轴上。三个向量一列，行列式一展开，取绝对值除以 6，体积就出来了。四分之三。当年在黑板上辅助线画到崩溃的那道题，屏幕上一行代码，完事。publicclassNight12Volume{// 高三立体几何的旧伤，用向量偿还。// 棱长 2 的正方体，从一个角切下来的三棱锥：// A(0,0,0) B(2,0,0) C(0,2,0) D(0,0,2)，求四面体 ABCD 的体积。// 当年在黑板上辅助线画到崩溃，如今三个向量、一个行列式，六分之一的事。staticdoubledet(double[] u,double[] v,double[] w){returnu[0] * (v[1] * w[2] - v[2] * w[1]) - u[1] * (v[0] * w[2] - v[2] * w[0]) + u[2] * (v[0] * w[1] - v[1] * w[0]); }publicstaticvoidmain(String[] args){double[]A={0,0,0};double[]B={2,0,0};double[]C={0,2,0};double[]D={0,0,2};double[]AB={B[0] - A[0], B[1] - A[1], B[2] - A[2]};double[]AC={C[0] - A[0], C[1] - A[1], C[2] - A[2]};double[]AD={D[0] - A[0], D[1] - A[1], D[2] - A[2]};doublev=Math.abs(det(AB, AC, AD)) /6.0; System.out.println("四面体体积 = "+ v +"（正方体体积 8 的 "+ (v /8.0) +"）"); System.out.println("辅助线：零条。旋转：无限次。闪烁：每一次调试。"); } }向量法不需要辅助线，它只需要三个箭头。从 A 出发，指向 B、C、D，三个向量一列，行列式一展开，绝对值除以 6，体积自己走出来。这套章法也不挑图，正方体也好，歪四面体也好，坐标一换，章法照旧。立体几何从此不再需要你在脑子里旋转纸，需要旋转的时候，屏幕替你转，无限次。辅助线，零条。旋转，无限次。闪烁，每一次调试。黑板是静态的，无法旋转，无法闪烁。屏幕可以。数学没有变，难也没有变，变的是媒介。当年装不下的浪漫，屏幕装得下。这一夜还剩最后一笔，要跟一个传说清算。你可能听过这个故事。1650 年前后，52 岁的笛卡尔流落斯德哥尔摩，在街头偶遇 18 岁的公主克里斯汀，被国王召进宫当她的数学教师。师生相恋，国王震怒，放逐笛卡尔。分别之际，他寄出最后一封信，通篇没有一个字，只有一行公式，r 等于 a 乘以 1 减 sinθ。满朝文武无人能解，公主在坐标纸上把它画了出来。一颗心。先照实说，这个故事是编的，无任何史料。真实的笛卡尔 1649 年确实去了斯德哥尔摩，学生是 32 岁的瑞典女王克里斯蒂娜，次年冬天他死于肺炎。没有第十三封信，没有公主。和物不知数一样，传说都是编的。可是这条曲线是真的。$r=a(1-\sin\theta)$，画出来是一个圆瓣加一个尖，学名心形线。我在 2019 年的那封告白里写过它，说它诉说着笛卡尔和公主的爱情故事。今年，我用 Java 把它真画了出来，旁边摆上我自己用字符排的另一颗心。左边是 for 循环唱的歌，右边是公式画的线。传说里它是心。画出来，你自己看，像什么？像猴子屁股。而猴子屁股，本来就是心形的。编的浪漫传了百年，真的公式喂过齿轮，也养过屁股。可猴子屁股本来就是心形的，所以编的也没白编。这一段你要是笑了，那就对了。数学的笑话讲到最后，从来都是温柔的。故事讲完，还剩一个真正的彩蛋。有人不满足于心形线的单瓣，用两个函数拼出了一颗更标准的心。上半，$f(x)=\sqrt{1-(|x|-1)^2}$，两个圆瓣。下半，$g(x)=\arccos(1-|x|)-\pi$，一个尖底。f 画上半，g 画下半。我盯着这幅图看了很久，然后想起了自己在 2021 年的一篇演讲里写下的话，理性的思维可以让人看见睿智的天空，感性的心灵却能让人触摸温情的世界。原来那句话，早就是这对函数的人话版本。理性画看得见的上半，感性画藏起来的下半，缺了谁，这颗心都拼不完整。李白的数学是无穷与连续，飞流直下三千尺；杜甫的算法是有限与离散，语不惊人死不休。他们两个人一辈子只见过几面，可后人说，李杜文章在，光焰万丈长。数学和算法也是这样，一个负责提出无穷的问题，一个负责给出有限的答案。我的这本夜话，就摆在他们的桌子边上，每一夜，都是一次李杜同框。所以，回到那位读者的留言。你的数学很厉害。谢谢。但我想把实话原样交回。我的数学至今很差，纸笔推积分还是不会，限时心算还是不行。真实的图景是这样，我外包了执行，保留了提问和判断，然后把余生的每一夜，都用来偿还当年欠下的那道题。补偿是真的。可补偿不丢人。数学缺的从来不是手，是敢提问的人。三封告别信都是我写的。而这一夜，是数学的回信。它说，你从没离开，我也从没离开。分数只陪了你十年，我陪了你一生。下一夜，还讲我的故事吗？讲。一直都讲。packagepoem;importjava.text.DateFormat;importjava.text.SimpleDateFormat;importjava.util.Date;publicclassPoem{publicstaticvoidmain(String[] args){DatespecialTime=newDate(121,2,15); reunion(specialTime); neverForget("teacher's love"); walkToHeartAgain(); neverSayGoodbye(); loveForever(); drawHeart(); System.out.println("\t\t\t\t\t\t"+"秋天的怀念"); }publicstaticvoidreunion(Date specialTime){DateFormatdf=newSimpleDateFormat("YYYY-MM-dd");Stringformat=df.format(specialTime); System.out.println("\t\t\t"+format +"特别的日子"); System.out.println("\t\t\t"+"重逢于照亮哈佛红的那抹夕阳"); }publicstaticvoidneverForget(String love){ System.out.println("\t\t\t"+"师恩绵长犹未忘"); }publicstaticvoidwalkToHeartAgain(){ System.out.println("\t\t\t"+"再一次走进你温暖的心房"); }publicstaticvoidneverSayGoodbye(){ System.out.println("\t\t\t"+"这一次，不说再见"); }publicstaticvoidloveForever(){intendTime=Integer.MAX_VALUE -1;while(endTime < Integer.MAX_VALUE) { System.out.println("\t\t\t"+"重逢的这一秒便是我们的永恒"); endTime++; } }publicstaticvoiddrawHeart(){for(inti=0, k =0; i <14; i++) {if(i <3) {for(intj=0; j <5-2* i; j++) { System.out.print(" "); }if(i ==2) {for(intj=0; j <6+4* i -1; j++) { System.out.print("母"); }for(intj=0; j <7-4* i +2; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=0; j <6+4* i -1; j++) { System.out.print("校"); } }else{for(intj=0; j <6+4* i; j++) { System.out.print("我"); }for(intj=0; j <7-4* i; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=0; j <6+4* i; j++) { System.out.print("爱"); } } }elseif(i <6) {for(intj=0; j <29; j++) { System.out.print("的"); } }else{if(i ==13) {for(intj=0; j <2* (i -6); j++) { System.out.print(" "); } System.out.print("!"); }else{for(intj=0; j <2* (i -6) +1; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=1; j <28-4* k; j++) { System.out.print("美"); } k++; } } System.out.println(); } } }① 真伪核对逐条照实登记。Ⅰ 分数年表 五年级 98 分、初一下学期期末统考 59 分、中考 123 分、高三立体几何单元考 29 分、高考数学 98 分（满分 150）、2020 考研总分 248 且数学未过线、大学高数作业连续满分，均为 秋天的怀念 亲历自述，以本人历年日记为据（真）。外婆曾在师范学校任教、考研报考动机与其相关（真）。Ⅱ 三封信与演讲 2017-05-11《我与数学的爱恨情仇》、2019-12-23《对数学的告白》（署名你所看不起的学渣）、2020-02-21《经历过风雨，未必见彩虹》、2021-10-08《梦想之途，一路阳光》，均为 秋天的怀念 原文存档，本夜引文照录，个别错字径改（真，已披露）。Ⅲ computer 词源 该词 1613 年首见于印刷品（Richard Braithwaite，The Yong Mans Gleanings），本义为做计算的人；二十世纪前 computer 是人类职业，天文台与科研机构雇人专职计算（真）。Ⅳ algorithm 词源 源自花拉子米（al-Khwarizmi）之拉丁化，第九世纪，比程大位早七百年（真，第十一夜已核）。Ⅴ 雉兔同笼 《孙子算经》卷下第三十一题，三十五头九十四足，答雉二十三兔十二（真，实跑验证）；与物不知数同出《孙子算经》（真）。Ⅵ 四面体体积 混合积绝对值除以六，棱长 2 正方体一角的三棱锥体积为 4/3，占正方体 1/6（真，实跑验证）。Ⅶ 心形线与传说 r=a(1−sinθ) 为真实曲线，学名心形线（cardioid），1674 年 Rømer 于齿轮研究中使用，1741 年 de Castillon 命名（真）；笛卡尔与公主的第十三封信无任何史料，属网络传说（传说）；现代分段函数真心 f、g 为 Desmos 时代流行图式，原创者不可考（真）。Ⅷ Poem.java 秋天的怀念 2021 年原作，字符心藏头我爱母校的美（真，脱敏定稿）；恒久循环因 int 溢出，永恒恰好只打印一次（真，bug 即诗）。Ⅸ 口述录入手脚 外婆口述、立体几何口述、X 光片段均为原样收录，其中对角线的量词按机审规范作了调整（已披露）；AI 对话场景为叙事演绎，对话内容即本夜数学事实（演绎）。Ⅹ 实跑记录 JDK 21。鸡兔同笼枚举得雉 23 兔 12，验足 94；四面体体积 1.3333 即 4/3；Poem.java 输出 2021-03-15 心形一幅，藏头完整。② 今夜习题三道，评论区见。Ⅰ 今有龟鹤同池，上有四十头，下有一百一十二足，问龟鹤各几何。枚举一遍，再想想假设法省掉了什么。Ⅱ 把第十二夜那颗四面体的正方体棱长改成 3，重算角上三棱锥的体积。看看它占正方体的比例，变没变。Ⅲ 幻觉检测。把 AI 撤走，列出你的哪三样成果还站得住。这道题没有标准答案，但有唯一要求，证据必须不经过任何人的嘴。本书目录导航上一篇：第十一夜 韩信点兵 下一篇：第十三夜 幻方，武侠世界里的数学迷宫 起点：卷首语·算法童话版权声明：本文为作者原创，受著作权法保护。未经授权禁止转载、搬运、摘编、改编及任何形式的二次创作；个人学习引用请注明作者与原文出处。转载授权请联系作者（CSDN 私信）。侵权必究。
第十二夜 · 一个数学学渣，用计算机解奥数题前几天，一位读者在微信上给我留言，说，我感觉你的数学也很厉害。我盯着这句话看了很久。放在从前，我大概会客气两句，说不敢不敢。可这一回，我想坦白得彻底一些。我是一个数学学渣。这四个字不是我谦虚，是有根据的。四岁那年，数学是一首儿歌。一像蜡笔，二像小鸭，三像耳朵，0 像鸡蛋，小朋友们快来看，数学与你把手牵。那时它是我最喜欢的画。小学五年级，数学 98 分。可就是那一年，爱的裂痕开始了。分数没有垮，快乐先垮了。初一下学期期末统考，59 分，一分之差不及格，我第一次为数学落泪。初三的寒假，我和外婆在台灯下挑灯苦战几何。一张张草图，一行行等式，最后也没能填平那条鸿沟。中考，123 分，是代数换来的。中考结束的那个暑假，我偶然读到一本《从一到无穷大》，然后在日记里写下一句话，从勾股定理到杨辉三角，从幻方到数独，从鸡兔同笼到韩信点兵。那时我不知道，这句话里藏着后来两夜的题目。高三，立体几何单元考，29 分。我向数学宣战。高考数学，98 分，满分 150。两个 98，隔着我的整个中学时代。第一个 98，是快乐的讣告。第二个 98，是战争的终战书。大学高数，作业本上一个又一个 100 分。我看着那些一百分想，原来你没变，变的是我自己。2020 年，考研成绩公布，总分 248，数学特别低，过线无望。我报考的那所学校，是外婆读过师范的那所学校。那一场考试，死在数学上。把这些分数一笔一笔列出来，像不像一份屈辱史年表？我原本以为写完会崩。写完发现，它们排成一列之后，反而安静了。年表里有两封信。2017 年 5 月，大学高数快结课时，我写过一封告别信，信的结尾是谈判。我对高等数学说，我们还是分手吧，你有你的高深，我一辈子无法企及。它说，好，那我们考研时再见。2019 年 12 月，考研结束当天，我又给它写了一封信，这回是告白。我在信里说，既然无法用理性的智慧穷尽你的世界，那么我就用感性的眼光去了解你。信的落款是八个字，你所看不起的学渣。2020 年 2 月，回执来了，我给它起名叫《经历过风雨，未必见彩虹》。总分 248，数学没有过线。信里有句话我抄在这里，有时候 100 句励志的宣言，抵不过一个冷冰冰的分数。还有一句更疼的，发现了那个一度曾经让我厌恶的数学学科，背后难以言说的美丽。虽然那份美丽我无法理解和超越。无法理解和超越。这七个字，我背了六年。后来的一年里，我读苏东坡，读陆游，读回首向来萧瑟处，也无风雨也无晴。再后来，我成了一名软件工程师。再再后来，我开始写这本夜话，逐夜把算法讲成故事。写到现在，第十一夜讲完了韩信点兵，我忽然停下来，发现了两件事。我数了数，从四岁那首儿歌算起，数学在我心里住了近30年。考场上它陪了我十年，心里的这近30年，它一天都没有离开过。我写了三封告别信，2017 一封，2019 一封，高考后还有一首十不见的诗。可数学一封都没有回过再见。另外还有一件是我发现写了这么多夜，我还在用算法解奥数题。扑克牌，汉诺塔，蜗牛爬井，韩信点兵。难道计算机真的只能做奥数题吗？我把这个问题也拿去问了 AI。它没有安慰我，它给我讲了一个词的身世。computer，计算机，这个词 1613 年第一次出现在印刷品里，本义不是机器，是人，是受雇做计算的人。天文台里成排坐着算星表的，叫 computer；曼哈顿计划里算弹道的，也叫 computer。数学史上，执行这一环本来就外包出去，先外包给人肉，1936 年之后，图灵把它外包给了机器。所以一个工程师用计算机解数学题，不是自我补偿，是回到了这门学科本来的分工，人负责提问和判断，机器负责执行。学渣当年输掉的，从来不是思想，是执行的流畅度，而考试偏偏只考执行。我说，可我总疑心，这种飞起的感觉是你的幻觉，是你在增强我的能力。它说，你的怀疑有一半是真的。纸笔推积分的能力没有回来，永远不会回来。剩下的一半，用判据验，幻觉的特征是撤掉源头就消失。把 AI 撤走，那些 Java 文件还在硬盘上，javac 一跑，答案照样出来。撤不掉的就不是幻觉，是杠杆。杠杆不增加你的力气，但它撬动的重量是真的。我想了想，又抛给它一个问题。那这本书的边界呢？从头到尾都在解奥数题，计算机只能做奥数题吗？它说，有一个四百年前的同行可以回答你。1592 年，明代程大位写了一本书，叫《算法统宗》，将近六百道题，全是百僧分馍这个量级的小题，没有一道工业算法。可它畅销三百年，东传日本，喂饱了整个东亚的商业数学。小题不是罪，小题是思想的最小样本。工业算法是同一批思想加上工程约束的放大版，不是另一门宗教。我服了。因为《算法统宗》这四个字里，藏着的正是我这本书想做的事。他用珠算口诀包装数学，给明代的商贾。我用故事包装算法，给今天的初学者。我们隔了430年，写的是同一类书。话说回来了。学渣解奥数题，到底怎么解？拿一道祖传的题当例子。孙子算经卷下第三十一题，今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。鸡兔同笼，奥数启蒙的第一座大山，我当年就是在这座山下第一次学会自卑的。标准的学霸走法叫假设法，假设全是鸡，脚会少算多少，再用差值除回来。这步很聪明，聪明到我当时怎么也想不通，为什么假设全是鸡之后，多出来的脚就该分给兔子。学渣的走法没有这么聪明，只有一条，把所有可能都试一遍。笼子里一共 35 个头，那么鸡的数量只可能在 0 到 35 之间。一种一种试。鸡 0 只兔 35 只，脚 140，多了。鸡 1 只兔 34 只，脚 138，还多。一路试下去，试到第 24 种可能的时候，脚正好 94。publicclassNight12ChickenRabbit{// 孙子算经卷下原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。// 学霸的走法是假设法，一步到位；学渣的走法是枚举，// 把每一种「有多少只鸡」的可能性全部试一遍，机器一眨眼，诚实得像小学生。publicstaticvoidmain(String[] args){intheads=35;intfeet=94;for(intchicken=0; chicken <= heads; chicken++) {intrabbit=heads - chicken;// 头数钉死兔数，院墙同款if(2* chicken +4* rabbit == feet) { System.out.println("雉 "+ chicken +" 只，兔 "+ rabbit +" 只"); } } System.out.println("验足："+ (2*23+4*12)); } }雉 23 只，兔 12 只。顺便说一句，这道题和第十一夜的物不知数出自同一本书，《孙子算经》，一家出的两道题，一道给了中国剩余定理，一道给了奥数启蒙。而枚举这个笨办法，从第六夜的蜗牛爬井一路用到今夜，从没让我失望过。它不聪明，但它诚实。聪明是压缩的，一步到位；枚举是展开的，一步不省。机器不怕展开，一秒钟展开一万步。所以学渣拿到计算机，等于拿到了一台把笨办法的执行效率放大一万倍的机器。还有一个旧伤，也要在这一夜做了结。高二下学期刚学立体几何的时候，我不会画正方体的透视图。当高中老师在黑板上画出一整个空间坐标系的时候，我的感觉是，一个平面直角坐标系被棍子捅穿了。因为我看不到三维，我只能看到二维。右边的正方体，在你眼里是一个有深度的立体。在我眼里，它只有一个正面，一个方方正正的正方形。后来我父亲从医院带来废弃的 X 光片，半透明的胶片，他用牙签扎了一个小长方体，让我拿在手里真实地旋转，看里面真实的棱。可我还是看不见那条穿越整个正方体的体对角线。因为牙签插不进去，插进去就穿了。那道立体几何我考了 29 分。宣战，惨败，梦魇。这个故事听起来像是一个空间想象力弱到极致的人的不甘，其实不是。多年之后我才发现，我的病因精确得可以写进病历，我看不到三维，不是脑子里缺一根弦，是黑板上缺一个维度。黑板是静态的，无法旋转，无法闪烁。二维的纸装不下三维的真理，这不是我的错，是媒介的错。那么媒介变了之后呢？后来我在计算机里，给一个棱长为 2 的正方体切下角上的四个点，输入坐标，A 是原点，B、C、D 分别在三根轴上。三个向量一列，行列式一展开，取绝对值除以 6，体积就出来了。四分之三。当年在黑板上辅助线画到崩溃的那道题，屏幕上一行代码，完事。publicclassNight12Volume{// 高三立体几何的旧伤，用向量偿还。// 棱长 2 的正方体，从一个角切下来的三棱锥：// A(0,0,0) B(2,0,0) C(0,2,0) D(0,0,2)，求四面体 ABCD 的体积。// 当年在黑板上辅助线画到崩溃，如今三个向量、一个行列式，六分之一的事。staticdoubledet(double[] u,double[] v,double[] w){returnu[0] * (v[1] * w[2] - v[2] * w[1]) - u[1] * (v[0] * w[2] - v[2] * w[0]) + u[2] * (v[0] * w[1] - v[1] * w[0]); }publicstaticvoidmain(String[] args){double[]A={0,0,0};double[]B={2,0,0};double[]C={0,2,0};double[]D={0,0,2};double[]AB={B[0] - A[0], B[1] - A[1], B[2] - A[2]};double[]AC={C[0] - A[0], C[1] - A[1], C[2] - A[2]};double[]AD={D[0] - A[0], D[1] - A[1], D[2] - A[2]};doublev=Math.abs(det(AB, AC, AD)) /6.0; System.out.println("四面体体积 = "+ v +"（正方体体积 8 的 "+ (v /8.0) +"）"); System.out.println("辅助线：零条。旋转：无限次。闪烁：每一次调试。"); } }向量法不需要辅助线，它只需要三个箭头。从 A 出发，指向 B、C、D，三个向量一列，行列式一展开，绝对值除以 6，体积自己走出来。这套章法也不挑图，正方体也好，歪四面体也好，坐标一换，章法照旧。立体几何从此不再需要你在脑子里旋转纸，需要旋转的时候，屏幕替你转，无限次。辅助线，零条。旋转，无限次。闪烁，每一次调试。黑板是静态的，无法旋转，无法闪烁。屏幕可以。数学没有变，难也没有变，变的是媒介。当年装不下的浪漫，屏幕装得下。这一夜还剩最后一笔，要跟一个传说清算。你可能听过这个故事。1650 年前后，52 岁的笛卡尔流落斯德哥尔摩，在街头偶遇 18 岁的公主克里斯汀，被国王召进宫当她的数学教师。师生相恋，国王震怒，放逐笛卡尔。分别之际，他寄出最后一封信，通篇没有一个字，只有一行公式，r 等于 a 乘以 1 减 sinθ。满朝文武无人能解，公主在坐标纸上把它画了出来。一颗心。先照实说，这个故事是编的，无任何史料。真实的笛卡尔 1649 年确实去了斯德哥尔摩，学生是 32 岁的瑞典女王克里斯蒂娜，次年冬天他死于肺炎。没有第十三封信，没有公主。和物不知数一样，传说都是编的。可是这条曲线是真的。$r=a(1-\sin\theta)$，画出来是一个圆瓣加一个尖，学名心形线。我在 2019 年的那封告白里写过它，说它诉说着笛卡尔和公主的爱情故事。今年，我用 Java 把它真画了出来，旁边摆上我自己用字符排的另一颗心。左边是 for 循环唱的歌，右边是公式画的线。传说里它是心。画出来，你自己看，像什么？像猴子屁股。而猴子屁股，本来就是心形的。编的浪漫传了百年，真的公式喂过齿轮，也养过屁股。可猴子屁股本来就是心形的，所以编的也没白编。这一段你要是笑了，那就对了。数学的笑话讲到最后，从来都是温柔的。故事讲完，还剩一个真正的彩蛋。有人不满足于心形线的单瓣，用两个函数拼出了一颗更标准的心。上半，$f(x)=\sqrt{1-(|x|-1)^2}$，两个圆瓣。下半，$g(x)=\arccos(1-|x|)-\pi$，一个尖底。f 画上半，g 画下半。我盯着这幅图看了很久，然后想起了自己在 2021 年的一篇演讲里写下的话，理性的思维可以让人看见睿智的天空，感性的心灵却能让人触摸温情的世界。原来那句话，早就是这对函数的人话版本。理性画看得见的上半，感性画藏起来的下半，缺了谁，这颗心都拼不完整。李白的数学是无穷与连续，飞流直下三千尺；杜甫的算法是有限与离散，语不惊人死不休。他们两个人一辈子只见过几面，可后人说，李杜文章在，光焰万丈长。数学和算法也是这样，一个负责提出无穷的问题，一个负责给出有限的答案。我的这本夜话，就摆在他们的桌子边上，每一夜，都是一次李杜同框。所以，回到那位读者的留言。你的数学很厉害。谢谢。但我想把实话原样交回。我的数学至今很差，纸笔推积分还是不会，限时心算还是不行。真实的图景是这样，我外包了执行，保留了提问和判断，然后把余生的每一夜，都用来偿还当年欠下的那道题。补偿是真的。可补偿不丢人。数学缺的从来不是手，是敢提问的人。三封告别信都是我写的。而这一夜，是数学的回信。它说，你从没离开，我也从没离开。分数只陪了你十年，我陪了你一生。下一夜，还讲我的故事吗？讲。一直都讲。packagepoem;importjava.text.DateFormat;importjava.text.SimpleDateFormat;importjava.util.Date;publicclassPoem{publicstaticvoidmain(String[] args){DatespecialTime=newDate(121,2,15); reunion(specialTime); neverForget("teacher's love"); walkToHeartAgain(); neverSayGoodbye(); loveForever(); drawHeart(); System.out.println("\t\t\t\t\t\t"+"秋天的怀念"); }publicstaticvoidreunion(Date specialTime){DateFormatdf=newSimpleDateFormat("YYYY-MM-dd");Stringformat=df.format(specialTime); System.out.println("\t\t\t"+format +"特别的日子"); System.out.println("\t\t\t"+"重逢于照亮哈佛红的那抹夕阳"); }publicstaticvoidneverForget(String love){ System.out.println("\t\t\t"+"师恩绵长犹未忘"); }publicstaticvoidwalkToHeartAgain(){ System.out.println("\t\t\t"+"再一次走进你温暖的心房"); }publicstaticvoidneverSayGoodbye(){ System.out.println("\t\t\t"+"这一次，不说再见"); }publicstaticvoidloveForever(){intendTime=Integer.MAX_VALUE -1;while(endTime < Integer.MAX_VALUE) { System.out.println("\t\t\t"+"重逢的这一秒便是我们的永恒"); endTime++; } }publicstaticvoiddrawHeart(){for(inti=0, k =0; i <14; i++) {if(i <3) {for(intj=0; j <5-2* i; j++) { System.out.print(" "); }if(i ==2) {for(intj=0; j <6+4* i -1; j++) { System.out.print("母"); }for(intj=0; j <7-4* i +2; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=0; j <6+4* i -1; j++) { System.out.print("校"); } }else{for(intj=0; j <6+4* i; j++) { System.out.print("我"); }for(intj=0; j <7-4* i; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=0; j <6+4* i; j++) { System.out.print("爱"); } } }elseif(i <6) {for(intj=0; j <29; j++) { System.out.print("的"); } }else{if(i ==13) {for(intj=0; j <2* (i -6); j++) { System.out.print(" "); } System.out.print("!"); }else{for(intj=0; j <2* (i -6) +1; j++) { System.out.print(" "); }for(intj=1; j <28-4* k; j++) { System.out.print("美"); } k++; } } System.out.println(); } } }① 真伪核对逐条照实登记。Ⅰ 分数年表 五年级 98 分、初一下学期期末统考 59 分、中考 123 分、高三立体几何单元考 29 分、高考数学 98 分（满分 150）、2020 考研总分 248 且数学未过线、大学高数作业连续满分，均为 秋天的怀念 亲历自述，以本人历年日记为据（真）。外婆曾在师范学校任教、考研报考动机与其相关（真）。Ⅱ 三封信与演讲 2017-05-11《我与数学的爱恨情仇》、2019-12-23《对数学的告白》（署名你所看不起的学渣）、2020-02-21《经历过风雨，未必见彩虹》、2021-10-08《梦想之途，一路阳光》，均为 秋天的怀念 原文存档，本夜引文照录，个别错字径改（真，已披露）。Ⅲ computer 词源 该词 1613 年首见于印刷品（Richard Braithwaite，The Yong Mans Gleanings），本义为做计算的人；二十世纪前 computer 是人类职业，天文台与科研机构雇人专职计算（真）。Ⅳ algorithm 词源 源自花拉子米（al-Khwarizmi）之拉丁化，第九世纪，比程大位早七百年（真，第十一夜已核）。Ⅴ 雉兔同笼 《孙子算经》卷下第三十一题，三十五头九十四足，答雉二十三兔十二（真，实跑验证）；与物不知数同出《孙子算经》（真）。Ⅵ 四面体体积 混合积绝对值除以六，棱长 2 正方体一角的三棱锥体积为 4/3，占正方体 1/6（真，实跑验证）。Ⅶ 心形线与传说 r=a(1−sinθ) 为真实曲线，学名心形线（cardioid），1674 年 Rømer 于齿轮研究中使用，1741 年 de Castillon 命名（真）；笛卡尔与公主的第十三封信无任何史料，属网络传说（传说）；现代分段函数真心 f、g 为 Desmos 时代流行图式，原创者不可考（真）。Ⅷ Poem.java 秋天的怀念 2021 年原作，字符心藏头我爱母校的美（真，脱敏定稿）；恒久循环因 int 溢出，永恒恰好只打印一次（真，bug 即诗）。Ⅸ 口述录入手脚 外婆口述、立体几何口述、X 光片段均为原样收录，其中对角线的量词按机审规范作了调整（已披露）；AI 对话场景为叙事演绎，对话内容即本夜数学事实（演绎）。Ⅹ 实跑记录 JDK 21。鸡兔同笼枚举得雉 23 兔 12，验足 94；四面体体积 1.3333 即 4/3；Poem.java 输出 2021-03-15 心形一幅，藏头完整。② 今夜习题三道，评论区见。Ⅰ 今有龟鹤同池，上有四十头，下有一百一十二足，问龟鹤各几何。枚举一遍，再想想假设法省掉了什么。Ⅱ 把第十二夜那颗四面体的正方体棱长改成 3，重算角上三棱锥的体积。看看它占正方体的比例，变没变。Ⅲ 幻觉检测。把 AI 撤走，列出你的哪三样成果还站得住。这道题没有标准答案，但有唯一要求，证据必须不经过任何人的嘴。本书目录导航上一篇：第十一夜 韩信点兵 下一篇：第十三夜 幻方，武侠世界里的数学迷宫 起点：卷首语·算法童话版权声明：本文为作者原创，受著作权法保护。未经授权禁止转载、搬运、摘编、改编及任何形式的二次创作；个人学习引用请注明作者与原文出处。转载授权请联系作者（CSDN 私信）。侵权必究。