一、简答6小题共32分1.4动画制作分为哪三个阶段每个阶段的主要任务是什么2.4试解释空间分区表示中八叉树方法。3.6在关键帧动画中为了控制物体沿曲线匀速运动常采用向前差分法估算曲线弧长。请回答1前向差分法估算弧长的基本步骤2该方法有哪些优/缺点3如何在一定程度上减小其误差4.6在关节动画中正向运动学和逆向运动学是两种基本的运动控制方法。请分别解释正向运动学和逆向运动学的定义。与正向运动学相比逆向运动学解决了什么问题其优势是什么5.6在物理动画中常用的时间积分方法有显式欧拉、辛欧拉、隐式欧拉三种。请1分别写出三种方法的位置和速度更新公式。2从稳定性、能量行为、计算复杂度三个方面对比这三种方法。3针对以下场景分别推荐使用哪种方法并说明理由实时游戏中的刚体运动模拟如角色跳跃、布料模拟要求大时间步长且稳定、天体轨道长期模拟要求能量守恒。6.6光滑粒子流体动力学SPH是一种基于粒子的无网络方法广泛用于流体模拟。请回答1SPH方法的核心思想是什么与传统网络方法如欧拉网络法有何不同2什么是光滑核函数smoothing kennel它在SPH中起什么作用3列出SPH方法相对于欧拉网格法的主要优点。二、计算题共8分在光线追踪中已知一个球体的中心为C(2,0,0)。半径R1一条光线的起点为O(0,1,0)方向向量为D(1,0,0)光线参数方程P(t)OtDt≥0。1判断该光线与球体是否存在有效交点。2如果有交点求出交点坐标。三、计算题共8分一个小球在竖直平面内运动质量为m1kg仅受重力g-9.8m/s²竖直向下。初始时刻t0时小球位置x00速度v010m/s竖直向上使用辛欧拉模拟小球的运动时间步长△t0.1s。1写出辛欧拉积分在该问题中的具体更新公式。2计算t0.1s和t0.2s时的速度和位置保留2位小数。3已知自由落体运动的解析式为x(t)x0v0tgt²计算t0.2s的解析位置并与辛欧拉结果比较绝对误差。四、推导题共12分在关键帧动画中为实现易入/易出ease-in/ease-out速度控制可采用均匀加速度模型。设总运动时间为归-化时间t∈[0,1]总路程为1加速度阶段[0,t1]内加速度恒定匀速阶段[t1,t2]速度最大为v0减速阶段[t2,1]内减速度恒定已知t1和t2由用户指定。1根据总路程为1的条件推导最大速度v0的表达式。2推导出距离函数s(t)在三个阶段的显式表达式。3说明该模型与正弦差值模型相比在灵活性上有何优势。五、推导题共10分在Verlet积分中通过泰勒展开导出位置更新公式x(t△t)2x(t)-x(t-△t)a(t)△t²O(△)1写出x(t△t)和x(t-△t)关于t的泰勒展开式展开到△项。2推导出Verlet位置更新公式。3证明Verlet积分的局部截断误差为O(△)并解释为什么Verlet积分比显式欧拉方法更稳定。提示证明Verlet积分的局部截断误差为O(△)而显式欧拉方法的局部截断误差为O(△t²)。六、推导题共10分在流体模拟欧拉网格法中在实现投影运算时需要将不满足不可压缩性的中间速度场w分解为无散度速度场u和压力梯度▽pwu▽p , ▽·u0。1请推导出压力p的方程用w表示。提示对等式两边取散度利用▽·u0。2一旦求出压力p如何得到修正后的速度场u写出表达式。七、证明题共10分在凹凸映射Bump Mapping中设原始曲面为P(u,v)其单位法向量n引入微小的凹凸函数b(u,v)定义扰动后的曲面为P(u,v)P(u,v)b(u,v)n。扰动后的法向量为NPu×Pv。在假设b很小且忽略高阶小量如忽略含bubv项和bnu项的情况下证明N≈Pu×Pvbv(Pu×n)bu(n×Pv)八、证明题(共10分Gerstner波的位置函数为其中wi-,Qi:陡峭度参数 Di(Dix,Diy)为波阵面法线方向且Dix²Diy²1.1证明当所有Qi0时Gerstner波退化为正弦波模型。2定义标量坐标sDx xDy y波面曲线的切线斜率它反应实际波面轮廓的陡峭程度。以单个Gerstner波i1证明: Q时此时波峰变得异常尖锐。提示考虑波峰位置满足sin(·1时分析斜率sDx xDy y。此时波峰处水平位移x达到极值且波峰处切线趋于均值波面曲线的斜率无穷大